Calcule os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite, quando
, do vetor com três componentes:
.
Ou seja, devemos calcular separadamente os três limites:
Ou seja, devemos calcular separadamente os três limites:
-
, -
, -
.
Passo 2
Resolver a primeira componente: analisar
.
- Explicar a técnica: quando aparece uma expressão do tipo
ao substituir o ponto de interesse, uma maneira simples é fatorar o numerador para tentar cancelar o fator que causa o zero no denominador. - Aplicando fatoração:
- Para
podemos cancelar :
- Conclusão prática: o limite quando
desta expressão é o mesmo que o limite de quando . (A função é contínua, então basta substituir.)
Passo 3
Resolver a segunda componente: analisar
.
- Explicar o conceito usado: funções contínuas (como a raiz quadrada sobre argumentos positivos) têm limite igual ao valor da função no ponto, desde que o argumento fique no domínio.
- Verificar domínio no ponto: para
perto de , é positivo (por exemplo ), logo a raiz está bem definida e a função é contínua naquele ponto. - Portanto o limite
é obtido substituindo diretamente na expressão da raiz.
Passo 4
Resolver a terceira componente: analisar
.
- Primeiro observamos que, ao substituir
, o numerador e o denominador vão para zero: e . Isso é uma forma indeterminada , então precisamos de um método adicional. - Dois caminhos naturais para esse tipo de forma indeterminada são: (A) a Regra de l’Hôpital (diferenciar numerador e denominador) ou (B) fazer a substituição
e usar aproximações de primeira ordem. Vou mostrar os dois para fixar a ideia, e em seguida aplicar l’Hôpital de forma direta.
Passo 5
Método A — Regra de l’Hôpital:
- Enunciado rápido da regra (intuição): se
e e são diferenciáveis perto de (com não nulo), então
quando o limite do quociente das derivadas existir.
- Aplicando aqui com
e :
- Pelo enunciado da regra,
- Como
é contínua em , basta substituir para obter o valor final daquele limite.
Passo 6
Método B — substituição e aproximação (intuição alternativa):
- Faça
com . Então
- Para
pequeno, (aproximação de primeira ordem da série de Taylor: quando ). - Também
para pequeno. - Portanto
o que confirma a resposta obtida pelo método de l’Hôpital e dá intuição física do resultado.
Passo 7
Síntese final: juntando os resultados parciais (obtidos por simplificação, continuidade e l’Hôpital/substituição), temos os três limites que compõem o vetor pedido.