Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 1}\left(\frac{t^{2}-t}{t-1}, \sqrt{t+8}, \frac{\operatorname{sen} \pi t}{\ln t}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando t \to 1, do vetor com três componentes:
\left(\frac{t^{2}-t}{t-1},\; \sqrt{t+8},\; \frac{\operatorname{sen} \pi t}{\ln t}\right).
Ou seja, devemos calcular separadamente os três limites:
  1. \lim_{t\to1}\frac{t^{2}-t}{t-1},
  2. \lim_{t\to1}\sqrt{t+8},
  3. \lim_{t\to1}\frac{\operatorname{sen} \pi t}{\ln t}.

Passo 2

Resolver a primeira componente: analisar \frac{t^{2}-t}{t-1}.
  • Explicar a técnica: quando aparece uma expressão do tipo \frac{0}{0} ao substituir o ponto de interesse, uma maneira simples é fatorar o numerador para tentar cancelar o fator que causa o zero no denominador.
  • Aplicando fatoração:
t^{2}-t = t(t-1).
  • Para t\neq 1 podemos cancelar t-1:
\frac{t^{2}-t}{t-1}=\frac{t(t-1)}{t-1}=t\qquad(t\neq 1).
  • Conclusão prática: o limite quando t\to1 desta expressão é o mesmo que o limite de t quando t\to1. (A função t é contínua, então basta substituir.)

Passo 3

Resolver a segunda componente: analisar \sqrt{t+8}.
  • Explicar o conceito usado: funções contínuas (como a raiz quadrada sobre argumentos positivos) têm limite igual ao valor da função no ponto, desde que o argumento fique no domínio.
  • Verificar domínio no ponto: para t perto de 1, t+8 é positivo (por exemplo 1+8=9>0), logo a raiz está bem definida e a função é contínua naquele ponto.
  • Portanto o limite \lim_{t\to1}\sqrt{t+8} é obtido substituindo t=1 diretamente na expressão da raiz.

Passo 4

Resolver a terceira componente: analisar \frac{\operatorname{sen} \pi t}{\ln t}.
  • Primeiro observamos que, ao substituir t=1, o numerador e o denominador vão para zero: \operatorname{sen}(\pi\cdot1)=\operatorname{sen}\pi=0 e \ln 1=0. Isso é uma forma indeterminada \frac{0}{0}, então precisamos de um método adicional.
  • Dois caminhos naturais para esse tipo de forma indeterminada são: (A) a Regra de l’Hôpital (diferenciar numerador e denominador) ou (B) fazer a substituição t=1+h e usar aproximações de primeira ordem. Vou mostrar os dois para fixar a ideia, e em seguida aplicar l’Hôpital de forma direta.

Passo 5

Método A — Regra de l’Hôpital:
  • Enunciado rápido da regra (intuição): se \lim_{t\to a} f(t)=0 e \lim_{t\to a} g(t)=0 e f,g são diferenciáveis perto de a (com g' não nulo), então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)},
quando o limite do quociente das derivadas existir.
  • Aplicando aqui com f(t)=\operatorname{sen}(\pi t) e g(t)=\ln t:
f'(t)=\pi\cos(\pi t),\qquad g'(t)=\frac{1}{t}.
  • Pelo enunciado da regra,
\lim_{t\to1}\frac{\operatorname{sen}(\pi t)}{\ln t} =\lim_{t\to1}\frac{\pi\cos(\pi t)}{1/t} =\lim_{t\to1}\pi t\cos(\pi t).
  • Como \pi t\cos(\pi t) é contínua em t=1, basta substituir t=1 para obter o valor final daquele limite.

Passo 6

Método B — substituição e aproximação (intuição alternativa):
  • Faça t=1+h com h\to0. Então
\operatorname{sen}(\pi t)=\operatorname{sen}(\pi(1+h))=\operatorname{sen}(\pi+\pi h)=-\operatorname{sen}(\pi h).
  • Para h pequeno, \operatorname{sen}(\pi h)\approx \pi h (aproximação de primeira ordem da série de Taylor: \operatorname{sen} x \sim x quando x\to0).
  • Também \ln(1+h)\approx h para h pequeno.
  • Portanto
\frac{\operatorname{sen}(\pi t)}{\ln t}=\frac{-\operatorname{sen}(\pi h)}{\ln(1+h)}\approx\frac{-\pi h}{h}=-\pi,
o que confirma a resposta obtida pelo método de l’Hôpital e dá intuição física do resultado.

Passo 7

Síntese final: juntando os resultados parciais (obtidos por simplificação, continuidade e l’Hôpital/substituição), temos os três limites que compõem o vetor pedido.

Resposta

1
3
-\pi

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