Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície descrita pela equação
O que é pedido:
- Achar a curva geradora da superfície de revolução (ou seja, a curva que, ao ser girada em torno de um eixo, gera a superfície).
- Determinar o eixo dessa superfície de revolução.
- Fazer um esboço (descrever como é a superfície e pontos/raios importantes).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
, e polinomialmente. - Os coeficientes de
e são iguais (ambos ).
Passo 2
Colocar a equação em forma explícita para
(isso facilita interpretação geométrica). Isolar
:
Explicação do que isso significa: a variável
é dada em função de
. Sempre que
depende apenas de
(e não de termos mistos
ou de ângulos), isso indica simetria rotacional em torno do eixo vertical (eixo
).
Passo 3
Mostrar que a superfície tem simetria de revolução em torno do eixo
.
Definindo
como a distância radial ao eixo
:
Substituindo na expressão de
obtemos
Explicação didática: essa forma mostra que
depende apenas de
, não do ângulo
no plano
. Se uma função depende só de
, rotacionar um ponto em torno do eixo
(mudando
mas mantendo
) não altera
. Assim a superfície é obtida girando uma curva do plano
em torno do eixo
. Logo o eixo de revolução é a reta definida por
que é o próprio eixo
.
Passo 4
Determinar explicitamente a curva geradora (a curva que, ao girar, gera a superfície).
Escolhemos o plano
(um plano vertical que contém o eixo
). Nesse plano a equação da superfície reduz para
Portanto uma curva geradora no plano
é a parábola
Outra forma muito comum de apresentar a geradora é no semi-plano radial
(plano
):
Observação didática: ao girar a parábola
em torno do eixo
, cada ponto
descreve um círculo de raio
no plano
fixo, produzindo exatamente os círculos de nível da superfície.
Passo 5
Analisar características geométricas importantes da superfície (vértice, direção de abertura, interseções com planos horizontais).
- Vértice: o menor valor de
ocorre quando (ou ). Substituindo:
Portanto o vértice está em
.
-
Abertura: como o coeficiente de
é positivo ( ), a parábola abre para cima em termos de . Assim a superfície é um paraboloide elíptico (aqui circular) que abre para valores maiores de . -
Seções horizontais (planos
): para um valor fixo de tem-se
Isso só faz sentido para
(para
o raio seria imaginário). Para
a interseção é um círculo de raio
Exemplos numéricos para ajudar no esboço:
- Em
: raio (vértice). - Em
: raio . - Em
: raio .
Passo 6
Parametrização da superfície (útil para visualizar e para cálculos posteriores):
usar coordenadas polares no plano
:
usar coordenadas polares
com
e
. Assim a superfície é parametrizada por
Explicação simples: para cada
fixo,
varia e gera um círculo de raio
no nível
.
Passo 7
Instruções para esboçar a superfície (passo a passo, sem desenho):
- Marcar o ponto
como vértice no eixo . - Desenhar a parábola geradora no plano
: . Ela tem vértice em e cresce rapidamente para cima. - Rotacionar mentalmente essa parábola em torno do eixo
: cada ponto vira um círculo de raio no plano paralelo ao . - Traçar alguns círculos de nível: em
um círculo de raio ; em um círculo de raio ; quanto maior , maior o raio. - O resultado é um paraboloide circular que começa em
e se abre para cima, com secções horizontais circulares cujo raio cresce como .
Resposta
Curva geradora:
no plano
(equivalente à curva
em coordenadas polares).
Eixo da superfície: eixo , a reta
.
Eixo da superfície: eixo