Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
4 x^{2}+4 y^{2}-z=9

Passo 1

O enunciado dá a superfície descrita pela equação
4x^{2}+4y^{2}-z=9.
O que é pedido:
  • Achar a curva geradora da superfície de revolução (ou seja, a curva que, ao ser girada em torno de um eixo, gera a superfície).
  • Determinar o eixo dessa superfície de revolução.
  • Fazer um esboço (descrever como é a superfície e pontos/raios importantes).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x, y e z polinomialmente.
  • Os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais (ambos 4).

Passo 2

Colocar a equação em forma explícita para z (isso facilita interpretação geométrica). Isolar z:
4x^{2}+4y^{2}-z=9 \quad\Longrightarrow\quad z=4x^{2}+4y^{2}-9.
Explicação do que isso significa: a variável z é dada em função de x^{2}+y^{2}. Sempre que z depende apenas de x^{2}+y^{2} (e não de termos mistos xy ou de ângulos), isso indica simetria rotacional em torno do eixo vertical (eixo z).

Passo 3

Mostrar que a superfície tem simetria de revolução em torno do eixo z.
Definindo r como a distância radial ao eixo z:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo na expressão de z obtemos
z=4r^{2}-9.
Explicação didática: essa forma mostra que z depende apenas de r, não do ângulo \theta no plano xy. Se uma função depende só de r, rotacionar um ponto em torno do eixo z (mudando \theta mas mantendo r) não altera z. Assim a superfície é obtida girando uma curva do plano rz em torno do eixo z. Logo o eixo de revolução é a reta definida por
x=0,\;y=0,
que é o próprio eixo z.

Passo 4

Determinar explicitamente a curva geradora (a curva que, ao girar, gera a superfície).
Escolhemos o plano y=0 (um plano vertical que contém o eixo z). Nesse plano a equação da superfície reduz para
z=4x^{2}-9\qquad(\text{quando }y=0).
Portanto uma curva geradora no plano y=0 é a parábola
\{(x,0,4x^{2}-9)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Outra forma muito comum de apresentar a geradora é no semi-plano radial r\ge0 (plano r\!z):
z=4r^{2}-9,\qquad r\ge0.
Observação didática: ao girar a parábola z=4x^{2}-9 em torno do eixo z, cada ponto (x,0,z) descreve um círculo de raio |x| no plano z fixo, produzindo exatamente os círculos de nível da superfície.

Passo 5

Analisar características geométricas importantes da superfície (vértice, direção de abertura, interseções com planos horizontais).
  • Vértice: o menor valor de z ocorre quando r=0 (ou x=y=0). Substituindo:
z_{\text{vértice}}=4\cdot0^{2}-9=-9.é
Portanto o vértice está em (0,0,-9).
  • Abertura: como o coeficiente de r^{2} é positivo ( 4>0), a parábola abre para cima em termos de z. Assim a superfície é um paraboloide elíptico (aqui circular) que abre para valores maiores de z.
  • Seções horizontais (planos z=\text{const}): para um valor fixo de z tem-se
4(x^{2}+y^{2})=z+9 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=\frac{z+9}{4}.
Isso só faz sentido para z\ge -9 (para z<-9 o raio seria imaginário). Para z\ge-9 a interseção é um círculo de raio
r=\sqrt{\frac{z+9}{4}}=\tfrac{1}{2}\sqrt{z+9}.
Exemplos numéricos para ajudar no esboço:
  • Em z=-9: raio r=0 (vértice).
  • Em z=0: raio r=\tfrac{1}{2}\sqrt{0+9}=\tfrac{3}{2}=1{,}5.
  • Em z=7: raio r=\tfrac{1}{2}\sqrt{7+9}=\tfrac{1}{2}\sqrt{16}=2.

Passo 6

Parametrização da superfície (útil para visualizar e para cálculos posteriores):
usar coordenadas polares (r,\theta) no plano xy:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=4r^{2}-9,
com r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). Assim a superfície é parametrizada por
\mathbf{X}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;4r^{2}-9\bigr).
Explicação simples: para cada r fixo, \theta varia e gera um círculo de raio r no nível z=4r^{2}-9.

Passo 7

Instruções para esboçar a superfície (passo a passo, sem desenho):
  1. Marcar o ponto (0,0,-9) como vértice no eixo z.
  2. Desenhar a parábola geradora no plano y=0: z=4x^{2}-9. Ela tem vértice em x=0,z=-9 e cresce rapidamente para cima.
  3. Rotacionar mentalmente essa parábola em torno do eixo z: cada ponto (x,0,z) vira um círculo de raio |x| no plano paralelo ao xy.
  4. Traçar alguns círculos de nível: em z=0 um círculo de raio 1{,}5; em z=7 um círculo de raio 2; quanto maior z, maior o raio.
  5. O resultado é um paraboloide circular que começa em z=-9 e se abre para cima, com secções horizontais circulares cujo raio cresce como \sqrt{z+9}.

Resposta

Curva geradora: z=4x^{2}-9 no plano y=0 (equivalente à curva z=4r^{2}-9,\;r\ge0 em coordenadas polares).
Eixo da superfície: eixo z, a reta x=0,\;y=0.

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