Calcule os limites:
lim x -infty 5 x^3-12 x+204 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -infty5x^3-12x+204x^2-1
O tema é limites no infinito de funções racionais. Para resolver, vamos usar a ideia de termos dominantes: em xtopminfty, os termos de maior grau nos polinômios ditam o comportamento da fração.

Passo 2

Identificamos o grau do polinômio do numerador ( deg=3) e do denominador ( deg=2). Como o grau do numerador é maior, o valor absoluto da fração tende a infinito. Só falta determinar o sinal desse infinito.
Para expor o comportamento dominante, fatoramos x^3 no numerador e x^2 no denominador:
5x^3-12x+204x^2-1 =x^3l(5-tfrac12x^2+tfrac20x^3r)x^2l(4-tfrac1x^2r) =x;5-tfrac12x^2+tfrac20x^34-tfrac1x^2

Passo 3

Agora analisamos o limite de cada parte quando xto -infty:
  • As frações tfrac12x^2, tfrac20x^3 e tfrac1x^2 vão a zero.
  • Logo
5-tfrac12x^2+tfrac20x^34-tfrac1x^2;longrightarrow;54
  • E como xto -infty, o fator x leva o produto a -infty (pois tfrac54>0).
    Concluímos que, ao multiplicar um número que tende a tfrac54 por xto -infty, o resultado é -infty.

Resposta

-infty

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