Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow-3} 10

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -3} 10.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é a constante 10, ou seja, a função considerada é f(x)=10 para todo x.
  • O ponto ao qual x se aproxima é -3.
    O que se pede: determinar o valor do limite quando x tende a -3.

Passo 2

Ideia intuitiva e propriedade usada (explicada com calma).
  • Quando a função vale sempre o mesmo número (uma constante), ao nos aproximarmos de qualquer ponto seu valor não muda: permanece igual àquela constante.
  • Portanto, faz sentido que o limite de uma função constante seja simplesmente essa constante.
Vou explicar isso de duas formas: por argumento direto e por uma versão simples do argumento formal (epsilon–delta), para você saber como justificar numa prova.
Argumento direto (intuitivo):
  • Para qualquer sequência de números (x_n) que tende a -3 com x_n\neq -3, os valores da função são f(x_n)=10 para todo n. Logo a sequência f(x_n) é constante igual a 10 e, portanto, tende a 10. Isso mostra que o limite deve ser 10.

Passo 3

Argumento formal (epsilon–delta), explicado passo a passo:
  • Definição: dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, tem-se |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Aqui f(x)=10, a=-3 e queremos ver se L=10 funciona.
  • Calcule |f(x)-10|=|10-10|=0 para todo x.
  • Como 0<\varepsilon para qualquer \varepsilon>0, temos 0<\varepsilon, isto é, |f(x)-10|=0<\varepsilon sempre, independentemente de x.
  • Portanto, para qualquer \varepsilon>0 podemos escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Assim a condição da definição é satisfeita e a conclusão é \lim_{x\to -3} f(x)=10.

Passo 4

Exemplos rápidos para fixar:
  • \lim_{x\to 0} 7 = 7.
  • \lim_{x\to 100} (-\tfrac{5}{2}) = -\tfrac{5}{2}.
    Sempre que a função é uma constante c, o limite em qualquer ponto vale c.

Resposta

10

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