Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão dentro do limite é a constante
, ou seja, a função considerada é para todo . - O ponto ao qual
se aproxima é .
O que se pede: determinar o valor do limite quandotende a .
Passo 2
Ideia intuitiva e propriedade usada (explicada com calma).
- Quando a função vale sempre o mesmo número (uma constante), ao nos aproximarmos de qualquer ponto seu valor não muda: permanece igual àquela constante.
- Portanto, faz sentido que o limite de uma função constante seja simplesmente essa constante.
Vou explicar isso de duas formas: por argumento direto e por uma versão simples do argumento formal (epsilon–delta), para você saber como justificar numa prova.
Argumento direto (intuitivo):
- Para qualquer sequência de números
que tende a com , os valores da função são para todo . Logo a sequência é constante igual a e, portanto, tende a . Isso mostra que o limite deve ser .
Passo 3
Argumento formal (epsilon–delta), explicado passo a passo:
- Definição: dizemos que
se, para todo , existe tal que, sempre que , tem-se . - Aqui
, e queremos ver se funciona. - Calcule
para todo . - Como
para qualquer , temos , isto é, sempre, independentemente de . - Portanto, para qualquer
podemos escolher qualquer (por exemplo ). Assim a condição da definição é satisfeita e a conclusão é .
Passo 4
Exemplos rápidos para fixar:
-
. -
.
Sempre que a função é uma constante, o limite em qualquer ponto vale .