Seja
definida por: determinar o valor
para que
seja contínua em todo
.
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede: determinar o valor de
para que
seja contínua em todo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é definida por duas expressões diferentes, com a mudança ocorrendo em
. - A incógnita é o número real
presente na expressão para . - Para
cada ramo é uma função polinomial (ou linear), isto é, tem comportamento bem conhecido; o ponto potencial de descontinuidade é exatamente .]
Passo 2
Vamos recordar, de forma direta e prática, o que significa continuidade num ponto: dada uma função
e um ponto
,
é contínua em
quando os dois limites laterais existem e são iguais entre si e ao valor da função em
. Em símbolos:
Aqui o ponto que merece atenção é
, porque é onde a definição de
muda de ramo. Fora de
cada ramo é polinomial (ou linear), e polinômios e funções lineares são contínuos em todo ponto, então não há problema para
. Portanto precisamos garantir continuidade em
.
Passo 3
Calcular o limite pela direita em
. Para
usamos o ramo
. Como esse ramo é uma função polinomial, o limite é o valor obtido substituindo
:
Além disso, o valor da função em
é dado pelo mesmo ramo (pois
pertence a
), logo
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda em
. Para
usamos o ramo
. Novamente é uma função linear, então o limite é a substituição
:
Passo 5
Impor a condição de continuidade em
: o limite pela esquerda deve igualar o limite pela direita (e igualar
). Assim devemos ter
Resolvendo a equação obtemos
Passo 6
Verificação rápida final: com
o limite à esquerda é
, que coincide com o limite à direita e com
. Portanto não há quebra em
, e como os dois ramos são contínuos nos demais pontos, concluímos que para
a função
é contínua em todo
.