Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por: determinar o valor c para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.
f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & x \geq-2 \\ x+c, & x<-2\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & x\ge -2,\\[4pt] x+c, & x<-2, \end{cases}
e pede: determinar o valor de c para que f seja contínua em todo \mathbb{R}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é definida por duas expressões diferentes, com a mudança ocorrendo em x=-2.
  • A incógnita é o número real c presente na expressão para x<-2.
  • Para x\neq -2 cada ramo é uma função polinomial (ou linear), isto é, tem comportamento bem conhecido; o ponto potencial de descontinuidade é exatamente x=-2.]

Passo 2

Vamos recordar, de forma direta e prática, o que significa continuidade num ponto: dada uma função f e um ponto a, f é contínua em a quando os dois limites laterais existem e são iguais entre si e ao valor da função em a. Em símbolos:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Aqui o ponto que merece atenção é a=-2, porque é onde a definição de f muda de ramo. Fora de -2 cada ramo é polinomial (ou linear), e polinômios e funções lineares são contínuos em todo ponto, então não há problema para x\neq-2. Portanto precisamos garantir continuidade em x=-2.

Passo 3

Calcular o limite pela direita em x=-2. Para x\to-2^+ usamos o ramo x^{2}+1. Como esse ramo é uma função polinomial, o limite é o valor obtido substituindo x=-2:
\lim_{x\to -2^+} f(x)=(-2)^{2}+1=4+1=5.
Além disso, o valor da função em x=-2 é dado pelo mesmo ramo (pois x=-2 pertence a x\ge-2), logo
f(-2)=(-2)^{2}+1=5.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda em x=-2. Para x\to-2^- usamos o ramo x+c. Novamente é uma função linear, então o limite é a substituição x=-2:
\lim_{x\to -2^-} f(x)=(-2)+c=c-2.

Passo 5

Impor a condição de continuidade em x=-2: o limite pela esquerda deve igualar o limite pela direita (e igualar f(-2)). Assim devemos ter
c-2=5.
Resolvendo a equação obtemos
c=7.

Passo 6

Verificação rápida final: com c=7 o limite à esquerda é 7-2=5, que coincide com o limite à direita e com f(-2)=5. Portanto não há quebra em -2, e como os dois ramos são contínuos nos demais pontos, concluímos que para c=7 a função f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

7

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