Calcule os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - A variável tende para
. - Ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale . Então temos uma forma indeterminada do tipo .
Passo 2
Vou transformar a expressão para eliminar a indeterminação de forma simples, usando identidades trigonométricas e uma substituição. Primeiro, note que podemos escrever
deslocado pela metade de
:
Agora uso a fórmula de soma no cosseno:
. Aplicando com
e
,
Como
e
, isso dá
Passo 3
Substituo esse resultado no quociente original. Lembro que
. Assim,
Essa forma já parece melhor: o sinal cancelou e agora aparece uma razão do tipo
, que é a forma clássica pra tirar indeterminações.
Passo 4
Faço a substituição direta para expor a forma padrão. Defino
Então
. Reescrevendo a expressão do Passo 3 em termos de
,
Quando
temos
. Portanto o limite desejado fica
Passo 5
Agora uso o limite fundamental
Vou justificar rapidamente esse fato com uma versão clássica por desigualdades (squeeze): para
real e pequeno positivo (a argumentação estende-se por simetria ao negativo),
temos a desigualdade geométrica bem conhecida
temos a desigualdade geométrica bem conhecida
(A derivação usuais dessas desigualdades vem da comparação entre áreas de setor circular, triângulo inscrito e triângulo circunscrito, mas aqui aceitamos essa desigualdade clássica.) Como
e o lado superior é
, pelo princípio do “squeeze” (teorema do confronto) segue que
.
Passo 6
Usando o resultado do Passo 5 na expressão do Passo 4, obtemos