e pede: determinar a\in\mathbb{R} para que \lim_{x\to1} f(x) exista.
Informações relevantes fornecidas:
A função tem duas expressões, uma válida para x\geq1 e outra para x<1.
O ponto onde queremos o limite é x=1.
Precisamos achar o valor de a (número real) que faz o limite em x=1 existir.]
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicado passo a passo): o limite \lim_{x\to1} f(x) existe se e somente se os dois limites laterais existem e são iguais, isto é,
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to1^-} é o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1) e \lim_{x\to1^+} é o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores ou iguais a 1). Portanto vamos calcular cada um usando a expressão apropriada da função.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda. Para x<1 usamos f(x)=2x+3. A função 2x+3 é uma função linear (portanto contínua), o que significa que o limite quando x tende a 1 é simplesmente o valor obtido substituindo x=1. Assim,
Comentário didático: “contínua” aqui quer dizer que não há salto ou quebra; para funções polinomiais ou lineares você pode calcular o limite apenas plugando o valor.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita. Para x\geq1 usamos f(x)=x^{2}+ax+1. Essa expressão é um polinômio em x (dependendo linearmente de a), e polinômios também são contínuos. Portanto
Explicação extra: como polinômio é contínuo, o limite ao aproximar x de 1 é o próprio valor da expressão em x=1.
Passo 5
Igualando os limites laterais para que o limite total exista. Precisamos de
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores temos
5 = a+2.
Agora resolvemos essa equação para a:
a+2=5 \quad\Rightarrow\quad a=5-2=3.
Passo 6
Verificação rápida: com a=3 a expressão à direita em x=1 fica 1^{2}+3\cdot1+1=5, coincidindo com o limite pela esquerda que era 5. Logo os dois limites laterais são iguais a 5, portanto \lim_{x\to1} f(x) existe e vale 5.