Dada a função:
f(x)= \begin{cases}x^{2}+a x+1 & \text { se } x \geq 1 \\\\ 2 x+3 & \text { se } x<1\end{cases}
Determine a \in \mathbb{R} para que \lim _{x \rightarrow 1} f(x) exista.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+a x+1 & \text{se } x \geq 1,\\[4pt] 2x+3 & \text{se } x<1,\end{cases}
e pede: determinar a\in\mathbb{R} para que \lim_{x\to1} f(x) exista.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem duas expressões, uma válida para x\geq1 e outra para x<1.
  • O ponto onde queremos o limite é x=1.
  • Precisamos achar o valor de a (número real) que faz o limite em x=1 existir.]

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado passo a passo): o limite \lim_{x\to1} f(x) existe se e somente se os dois limites laterais existem e são iguais, isto é,
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to1^-} é o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1) e \lim_{x\to1^+} é o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores ou iguais a 1). Portanto vamos calcular cada um usando a expressão apropriada da função.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda. Para x<1 usamos f(x)=2x+3. A função 2x+3 é uma função linear (portanto contínua), o que significa que o limite quando x tende a 1 é simplesmente o valor obtido substituindo x=1. Assim,
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (2x+3)=2\cdot 1+3=5.
Comentário didático: “contínua” aqui quer dizer que não há salto ou quebra; para funções polinomiais ou lineares você pode calcular o limite apenas plugando o valor.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita. Para x\geq1 usamos f(x)=x^{2}+ax+1. Essa expressão é um polinômio em x (dependendo linearmente de a), e polinômios também são contínuos. Portanto
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x^{2}+ax+1)=1^{2}+a\cdot 1+1=1+a+1=a+2.
Explicação extra: como polinômio é contínuo, o limite ao aproximar x de 1 é o próprio valor da expressão em x=1.

Passo 5

Igualando os limites laterais para que o limite total exista. Precisamos de
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores temos
5 = a+2.
Agora resolvemos essa equação para a:
a+2=5 \quad\Rightarrow\quad a=5-2=3.

Passo 6

Verificação rápida: com a=3 a expressão à direita em x=1 fica 1^{2}+3\cdot1+1=5, coincidindo com o limite pela esquerda que era 5. Logo os dois limites laterais são iguais a 5, portanto \lim_{x\to1} f(x) existe e vale 5.

Resposta

a=3

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