Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 \operatorname{sen}^{2} x}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+2\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x}
Estamos trabalhando com limites e vamos usar o fato de que, quando x\to0, vale
\operatorname{sen} x\sim x,
ou seja, \operatorname{sen} x=x+o(x).

Passo 2

A partir de \operatorname{sen} x\sim x segue que
\operatorname{sen}^{2}x\sim x^{2}.
Logo, para x muito pequeno podemos aproximar o numerador:
x^{2}+2\,\operatorname{sen}^{2}x \sim x^{2}+2\,x^{2}=3\,x^{2}.

Passo 3

De modo semelhante, o denominador fica
x\,\operatorname{sen} x \sim x\cdot x = x^{2}.

Passo 4

Então a razão inteira tem comportamento assintótico
\frac{x^{2}+2\,\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x} \sim \frac{3\,x^{2}}{x^{2}}=3.
Como esse quociente tende a 3, concluímos que o limite é 3.

Resposta

3

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