Para os vetores \vec{a}=(3 m) \hat{i}+(4 m) \hat{j} e \vec{b}=(5 m) \hat{i}+(-2 m) \hat{j}, determine \vec{a}+\vec{b} (a) em termos dos vetores unitários e em termos (b) do módulo e (c) do ângulo (em relação a \hat{i} ). Determine \vec{b}+\vec{a} (d) em termos dos vetores unitários e em termos (e) do módulo e (f) do ângulo.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \displaystyle \vec{a}=(3\text{ m})\,\hat{i}+(4\text{ m})\,\hat{j} e \displaystyle \vec{b}=(5\text{ m})\,\hat{i}+(-2\text{ m})\,\hat{j}
e pede a soma \vec{a}+\vec{b} (itens a, b, c) e a soma \vec{b}+\vec{a} (itens d, e, f) em termos de vetores unitários, módulo e ângulo em relação a \hat{i}. O conteúdo usado é adição de vetores, cálculo de norma e ângulo a partir da tangente.

Passo 2

Calcular a soma de componentes:
\vec{a}+\vec{b} =(3\text{ m}+5\text{ m})\,\hat{i}+(4\text{ m}-2\text{ m})\,\hat{j} =(8\text{ m})\,\hat{i}+(2\text{ m})\,\hat{j}.

Passo 3

Calcular o módulo de \vec{a}+\vec{b}:
\big\lVert\vec{a}+\vec{b}\big\rVert =\sqrt{8^{2}+2^{2}}\;\text{m} =\sqrt{68}\;\text{m} =2\sqrt{17}\;\text{m}.

Passo 4

Calcular o ângulo \theta de \vec{a}+\vec{b} em relação a \hat{i} usando a tangente:
\theta =\arctan\!\Bigl(\frac{2}{8}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr) \approx14{,}04^\circ.

Passo 5

Como a adição de vetores é comutativa, \vec{b}+\vec{a}=\vec{a}+\vec{b}.
Portanto os itens (d), (e) e (f) coincidem com (a), (b) e (c).

Resposta

(a) \vec{a}+\vec{b}=(8\text{ m})\,\hat{i}+(2\text{ m})\,\hat{j}.
(b) \big\lVert\vec{a}+\vec{b}\big\rVert=2\sqrt{17}\;\text{m}.
(c) \theta\approx14{,}04^\circ em relação a \hat{i}.
(d) \vec{b}+\vec{a}=(8\text{ m})\,\hat{i}+(2\text{ m})\,\hat{j}.
(e) \big\lVert\vec{b}+\vec{a}\big\rVert=2\sqrt{17}\;\text{m}.
(f) \theta\approx14{,}04^\circ em relação a \hat{i}.

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