Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{3 x^{3}+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x - \sqrt{3x^3+2}\bigr).
É uma indeterminação do tipo \infty - \infty, então vamos reescrever a expressão para extrair a parte dominante e avaliar o limite.

Passo 2

Observe que
\sqrt{3x^3+2} = x^{3/2}\,\sqrt{3 + \frac{2}{x^3}}.
Logo,
x - \sqrt{3x^3+2} = x - x^{3/2}\,\sqrt{3 + \frac{2}{x^3}} = x\Bigl(1 - x^{1/2}\,\sqrt{3 + \tfrac{2}{x^3}}\Bigr).

Passo 3

Quando x\to+\infty temos \sqrt{3 + 2/x^3}\to\sqrt{3}, então
1 - x^{1/2}\,\sqrt{3 + \tfrac{2}{x^3}} \sim 1 - \sqrt{3}\,x^{1/2}\;\longrightarrow\;-\infty.
Multiplicando por x>0 (que tende a +\infty), o produto também vai para -\infty.

Resposta

-\infty.

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