Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[2 x-\sqrt{x^{2}+3}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl[2x-\sqrt{x^2+3}\bigr].
O conteúdo principal é limites no infinito envolvendo uma forma indeterminada \infty-\infty. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, multiplicando e dividindo pelo conjugado.

Passo 2

Observamos que
\lim_{x\to+\infty}\bigl[2x-\sqrt{x^2+3}\bigr]
é da forma \infty-\infty. Multiplicamos e dividimos por 2x+\sqrt{x^2+3}:
2x-\sqrt{x^2+3} = \frac{(2x-\sqrt{x^2+3})(2x+\sqrt{x^2+3})}{2x+\sqrt{x^2+3}} = \frac{4x^2-(x^2+3)}{2x+\sqrt{x^2+3}} = \frac{3x^2-3}{2x+\sqrt{x^2+3}}.

Passo 3

Para avaliar o limite, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{3x^2-3}{2x+\sqrt{x^2+3}} = \frac{x\bigl(3x-3/x\bigr)}{x\bigl(2+\sqrt{1+3/x^2}\bigr)} = \frac{3x-\tfrac{3}{x}}{2+\sqrt{1+\tfrac{3}{x^2}}}.
Quando x\to+\infty, temos \tfrac{3}{x}\to0 e \sqrt{1+\tfrac{3}{x^2}}\to1, logo
\frac{3x-\tfrac{3}{x}}{2+\sqrt{1+\tfrac{3}{x^2}}} \;\longrightarrow\;\frac{3x}{2+1} =\;x,
que cresce sem limite.

Passo 4

Como a expressão resultante tende a x quando x\to+\infty, o valor do limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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