Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \left(\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\!\left(\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}\right).
Informações dadas:
  • A função interna ao cosseno é \displaystyle \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}.
  • O ponto para o qual (x,y) tende é (0,0).
  • O objetivo é obter o valor numérico do limite quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Primeira observação útil (intuição): se a quantidade dentro do cosseno tiver limite 0 quando (x,y)\to(0,0), então, pela continuidade da função \cos, o limite pedido será \cos(0)=1. Então o problema reduz-se a mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}=0.

Passo 3

Mostrando que o numerador tende a zero e o denominador tende a 1:
  • \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}=0 porque x^{2} é contínua e x\to0.
  • \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} y^{3}=0 porque y^{3} é contínua e y\to0.
    Pela propriedade da soma de limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{3}) = 0 + 0 = 0.
  • Além disso, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+y+1)=0+0+1=1.
Como o limite do denominador é 1\neq 0, a regra do quociente de limites (quando o limite do denominador é não nulo) permite concluir que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1} = \frac{0}{1}=0.

Passo 4

Para ficar mais explícito e rigoroso: existe um entorno de (0,0) onde |x+y+1| não fica próximo de zero. Por exemplo, para |x|<\tfrac{1}{4} e |y|<\tfrac{1}{4} temos
|x+y+1|\ge 1-|x|-|y|>1-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Nesse mesmo entorno vale
\left|\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}\right|\le 2\left(|x|^{2}+|y|^{3}\right).
Como |x|^{2}\to0 e |y|^{3}\to0 quando (x,y)\to(0,0), a expressão à direita tende a 0, logo a fração também tende a 0. Isso confirma de forma estimativa que o limite interno é 0.

Passo 5

Aplicando a continuidade do cosseno: a função \cos é contínua em todo \mathbb{R}, portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\!\left(\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}\right) = \cos\!\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}\right) = \cos(0)=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados