Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência com base que tende a
quando , pois . - O expoente é
, que tende a (porque e é constante).
O que se pede: o valor numérico do limite acima.
Passo 2
Ideia de resolução (resumida): é comum transformar limites do tipo
usando a função logaritmo natural, porque
Aqui o expoente é
, não exatamente
, mas podemos separar a potência em duas partes ou usar o logaritmo para tratar o pequeno ajuste
. Vou fazer as duas coisas: primeiro uma maneira simples e intuitiva (separar a potência), e em seguida dar a justificativa rigorosa via logaritmo e desenvolvimento de
.
Passo 3
Separação da potência (maneira rápida e intuitiva):
- A componente
é do tipo clássico e tende a (porque, em geral, ). - A componente
tem base que tende a e expoente fixo , logo tende a .
Multiplicando os limites (quando existirem), obtemos. Isso já sugere que o limite pedido é .
Passo 4
Justificativa mais detalhada via logaritmo (para ver direitinho por que
):
Defina
Defina
supondo que o limite exista e seja positivo. Tome logaritmo natural:
Agora analisamos o fator
. Use a expansão de primeira ordem de
quando
:
ou seja, o erro é pequeno em relação a
. Aqui
, que tende a
quando
. Então
Multiplicando por
:
Passo 5
Continuando a simplificação do expoente do logaritmo:
Calcule o termo principal:
Calcule o termo principal:
E o termo com o
-pequeno:
porque multiplicar
por algo que cresce como
dá
. Assim
Quando
, os termos
e
tendem a
. Portanto
Passo 6
Retornando ao logaritmo do limite:
Logo, exponenciando ambos os lados:
Isso coincide com a intuição da separação de potências do Passo 3 e com o limite clássico
.