Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{3 x}\right)^{x+\pi}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{3x}\right)^{x+\pi}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência com base que tende a 1 quando x\to\infty, pois \dfrac{2}{3x}\to0.
  • O expoente é x+\pi, que tende a +\infty (porque x\to\infty e \pi é constante).
    O que se pede: o valor numérico do limite acima.

Passo 2

Ideia de resolução (resumida): é comum transformar limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} usando a função logaritmo natural, porque
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}=e^{ab}.
Aqui o expoente é x+\pi, não exatamente x, mas podemos separar a potência em duas partes ou usar o logaritmo para tratar o pequeno ajuste \pi. Vou fazer as duas coisas: primeiro uma maneira simples e intuitiva (separar a potência), e em seguida dar a justificativa rigorosa via logaritmo e desenvolvimento de \ln(1+t).

Passo 3

Separação da potência (maneira rápida e intuitiva):
\left(1+\frac{2}{3x}\right)^{x+\pi} = \left(1+\frac{2}{3x}\right)^{x}\cdot\left(1+\frac{2}{3x}\right)^{\pi}.
  • A componente \left(1+\dfrac{2}{3x}\right)^{x} é do tipo clássico e tende a e^{2/3} (porque, em geral, \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}\to e^{a}).
  • A componente \left(1+\dfrac{2}{3x}\right)^{\pi} tem base que tende a 1 e expoente fixo \pi, logo tende a 1^{\pi}=1.
    Multiplicando os limites (quando existirem), obtemos e^{2/3}\cdot 1 = e^{2/3}. Isso já sugere que o limite pedido é e^{2/3}.

Passo 4

Justificativa mais detalhada via logaritmo (para ver direitinho por que \left(1+\dfrac{2}{3x}\right)^{x}\to e^{2/3}):
Defina
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{3x}\right)^{x+\pi},
supondo que o limite exista e seja positivo. Tome logaritmo natural:
\ln L=\lim_{x\to\infty}(x+\pi)\ln\!\left(1+\frac{2}{3x}\right).
Agora analisamos o fator (x+\pi)\ln\!\left(1+\dfrac{2}{3x}\right). Use a expansão de primeira ordem de \ln(1+t) quando t\to0:
\ln(1+t)=t+o(t)\quad(t\to0),
ou seja, o erro é pequeno em relação a t. Aqui t=\dfrac{2}{3x}, que tende a 0 quando x\to\infty. Então
\ln\!\left(1+\frac{2}{3x}\right)=\frac{2}{3x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right).
Multiplicando por x+\pi:
(x+\pi)\ln\!\left(1+\frac{2}{3x}\right)=(x+\pi)\left(\frac{2}{3x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right).

Passo 5

Continuando a simplificação do expoente do logaritmo:
Calcule o termo principal:
(x+\pi)\cdot\frac{2}{3x}=\frac{2}{3}\left(1+\frac{\pi}{x}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2\pi}{3x}.
E o termo com o o-pequeno:
(x+\pi)\cdot o\!\left(\frac{1}{x}\right)=o(1),
porque multiplicar o(1/x) por algo que cresce como x o(1). Assim
(x+\pi)\ln\!\left(1+\frac{2}{3x}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2\pi}{3x}+o(1).
Quando x\to\infty, os termos \dfrac{2\pi}{3x} e o(1) tendem a 0. Portanto
\lim_{x\to\infty}(x+\pi)\ln\!\left(1+\frac{2}{3x}\right)=\frac{2}{3}.

Passo 6

Retornando ao logaritmo do limite:
\ln L=\frac{2}{3}.
Logo, exponenciando ambos os lados:
L=e^{2/3}.
Isso coincide com a intuição da separação de potências do Passo 3 e com o limite clássico \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}\to e^{a}.

Resposta

e^{2/3}

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