Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^{2x}.
Informações dadas:
  • A expressão é da forma \left(1+\dfrac{4}{x}\right)^{2x}.
  • O que se quer é o valor numérico (finito) desse limite quando x\to\infty.

Passo 2

Estratégia inicial (não técnica ainda): essas expressões do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x} costumam tender a e^{a b}. Para justificar isso de maneira rigorosa, é útil aplicar o logaritmo natural na expressão, transformar o problema num limite de soma/produto, calcular esse limite e depois voltar exponenciando (usamos isso porque a função exponencial é contínua). Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Defino a quantidade cuja razão de crescimento vou estudar:
y=\left(1+\frac{4}{x}\right)^{2x}.
Faço logaritmo natural em ambos os lados (isso é permitido porque \ln é contínua e monótona em (0,\infty), e a base da potência é positiva para x grande):
\ln y = 2x\ln\!\left(1+\frac{4}{x}\right).
Agora o problema passa a calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln y. Depois, se esse limite for L, teremos \lim_{x\to\infty} y = e^{L}.

Passo 4

Transformo \ln y para evidenciar uma forma \dfrac{\ln(1+u)}{u} que conhecemos:
\ln y = 2x\ln\!\left(1+\frac{4}{x}\right) = \underbrace{2x\cdot\frac{4}{x}}_{=8}\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}{\dfrac{4}{x}} =8\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}{\dfrac{4}{x}}.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\ln y =8\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}{\dfrac{4}{x}}.

Passo 5

Avalio o limite presente usando uma mudança de variável ou um resultado padrão. Faço a mudança u=\dfrac{4}{x}. Quando x\to\infty temos u\to 0^+. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}{\dfrac{4}{x}} =\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora aplico um resultado básico sobre logaritmo: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Para justificar rapidamente esse resultado uso a regra de L’Hôpital (forma 0/0):
  • O numerador \ln(1+u)\to 0 e o denominador u\to 0.
  • As derivadas são \dfrac{d}{du}\ln(1+u)=\dfrac{1}{1+u} e \dfrac{d}{du}u=1.
  • Aplicando L’Hôpital:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u} =\lim_{u\to 0}\frac{1/(1+u)}{1} =\frac{1}{1+0}=1.

Passo 6

Voltando ao limite de \ln y:
\lim_{x\to\infty}\ln y = 8\cdot 1 = 8.
Como a exponencial é contínua, isso implica
\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{4}{x}\right)^{2x} = e^{8}.

Resposta

e^{8}

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