Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} x \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}x\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr).
O conteúdo principal é o limite trigonométrico \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1, que nos ajuda quando o argumento do seno tende a zero.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = \frac1x,
de modo que x\to\infty implica t\to0^+ e x=1/t. Então
x\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr) = \frac{\operatorname{sen}(\pi\,t)}{t}.

Passo 3

Reescrevemos
\frac{\operatorname{sen}(\pi\,t)}{t} = \pi\;\frac{\operatorname{sen}(\pi\,t)}{\pi\,t}.
Como \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1, ao definirmos u=\pi\,t e t\to0 temos
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}(\pi\,t)}{t} = \pi\cdot\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u} = \pi\cdot1 = \pi.

Resposta

\pi

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