Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} x \operatorname{tg}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} x\,\tan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica com argumento pequeno; vamos usar mudança de variável e o limite fundamental para \tan(u).

Passo 2

Definimos
u = \frac{1}{x}.
Quando x\to\infty, temos u\to0^+. Além disso,
x \,\tan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = \frac{\tan(u)}{u}.

Passo 3

Aplicamos o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u} = 1.
Portanto,
\lim_{x\to\infty}x\,\tan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = 1.

Resposta

1

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