Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{8^{x}-5^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{8^{x}-5^{x}}{x}.
Estamos lidando com uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} (pois 8^0-5^0=0 e o denominador tende a zero). Para resolver, podemos usar a Regra de l’Hôpital, que diz que, em casos de \tfrac{0}{0},
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do lado direito exista.

Passo 2

Aplicando l’Hôpital a \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{8^{x}-5^{x}}{x},
derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(8^x-5^x\bigr) =8^x\ln 8 \;-\;5^x\ln 5,
\frac{d}{dx}(x)=1.
Logo o limite vira
\lim_{x\to 0}\bigl(8^x\ln 8 - 5^x\ln 5\bigr).

Passo 3

Bast a agora substituir x=0 na expressão obtida, pois não dá mais indeterminação:
8^0\ln 8 \;-\;5^0\ln 5 =1\cdot\ln 8 \;-\;1\cdot\ln 5 =\ln 8 - \ln 5 =\ln\!\Bigl(\tfrac{8}{5}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\Bigl(\tfrac{8}{5}\Bigr)

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