Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas: a expressão é
e o ponto de interesse é
. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Entender a expressão
. Vou explicar isso com calma: por definição de raiz quadrada para números reais não negativos,
é sempre não negativo quando
. Como
para todo
, temos que
é a distância de
até zero, isto é, o valor absoluto de
. Em notação:
Aqui
significa
se
e
se
. Isso é uma identidade fundamental e muito usada — guarde aí:
.
Passo 3
Reescrevo a função usando
:
Agora é útil olhar a forma dessa função de modo piecewise (em pedaços), porque
é diferente dependendo do sinal de
. Escrevo:
Passo 4
Observação crucial para o limite em
: o ponto
é negativo. Isso significa que existe uma vizinhança de
(por exemplo, todos os
com
, que são os
no intervalo
) em que todos os
são negativos. Ou seja, para
suficientemente próximo de
temos
. Portanto, na vizinhança importante do ponto de limite, a expressão
coincide com
.
Passo 5
Como para
próximo de
a função vale
, o problema de calcular
reduz-se a calcular
Agora uso que polinômios (e funções do tipo
) são contínuos: podemos simplesmente substituir
na expressão
para obter o limite.
Passo 6
Faço a substituição direta:
Calculo
, logo
Passo 7
Posso também verificar rapidamente: no próprio ponto
a expressão original vale
, consistente com o que encontramos para o limite. Isso confirma que a função é igual a
numa vizinhança de
e que a substituição direta é válida.