Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-3} x \sqrt{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to -3} x\sqrt{x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é x\sqrt{x^{2}} e o ponto de interesse é x\to -3. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Entender a expressão \sqrt{x^{2}}. Vou explicar isso com calma: por definição de raiz quadrada para números reais não negativos, \sqrt{y} é sempre não negativo quando y\ge 0. Como x^{2}\ge 0 para todo x, temos que \sqrt{x^{2}} é a distância de x até zero, isto é, o valor absoluto de x. Em notação:
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Aqui |x| significa x se x\ge 0 e -x se x<0. Isso é uma identidade fundamental e muito usada — guarde aí: \sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 3

Reescrevo a função usando \sqrt{x^{2}}=|x|:
x\sqrt{x^{2}} = x\,|x|.
Agora é útil olhar a forma dessa função de modo piecewise (em pedaços), porque |x| é diferente dependendo do sinal de x. Escrevo:
x|x| = \begin{cases} x\cdot x = x^{2}, & \text{se } x\ge 0,\\[6pt] x\cdot(-x)= -x^{2}, & \text{se } x<0. \end{cases}]

Passo 4

Observação crucial para o limite em x\to -3: o ponto -3 é negativo. Isso significa que existe uma vizinhança de -3 (por exemplo, todos os x com |x+3|<1, que são os x no intervalo (-4,-2)) em que todos os x são negativos. Ou seja, para x suficientemente próximo de -3 temos x<0. Portanto, na vizinhança importante do ponto de limite, a expressão x|x| coincide com -x^{2}.

Passo 5

Como para x próximo de -3 a função vale -x^{2}, o problema de calcular \lim_{x\to -3} x\sqrt{x^{2}} reduz-se a calcular
\lim_{x\to -3} -x^{2}.
Agora uso que polinômios (e funções do tipo x^{2}) são contínuos: podemos simplesmente substituir x=-3 na expressão -x^{2} para obter o limite.

Passo 6

Faço a substituição direta:
\lim_{x\to -3} -x^{2} = -(-3)^{2}.
Calculo (-3)^{2}=9, logo
-(-3)^{2} = -9.

Passo 7

Posso também verificar rapidamente: no próprio ponto x=-3 a expressão original vale (-3)\sqrt{(-3)^{2}} = (-3)\cdot 3 = -9, consistente com o que encontramos para o limite. Isso confirma que a função é igual a -x^{2} numa vizinhança de -3 e que a substituição direta é válida.

Resposta

-9

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