Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite quando
tende a
da expressão abaixo:
Informações dadas:
aparece no numerador,
no denominador, e a variável que tende a zero é
. Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
O objetivo é transformar essa expressão em algo que eu já saiba calcular. Um fato muito útil (e padrão em provas) é o limite fundamental
Aqui estou usando
como o seno trigonométrico (mesma função indicada por
no enunciado). Vou explicar por que esse limite vale e depois vou usar uma substituição para adaptar o problema a esse caso conhecido.
Passo 3
Justificativa do limite fundamental
(explicação didática):
- Para
usamos uma argumentação geométrica (comparação de áreas) que dá a desigualdade
- Dividindo todos os termos por
(positivo nesse intervalo) obtemos
- Reescrevendo
e manipulando a desigualdade apropriada, chega-se à forma mais usada
- Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
- Para
usamos que é par (porque e o sinal se cancela), então o limite pela esquerda é o mesmo. Portanto
Observação: essa é a ferramenta principal que vou usar no exercício.
Passo 4
Faço a substituição simples para adaptar o nosso limite ao caso acima. Defino
Quando
temos também
. Reescrevo a expressão original em termos de
. Começo pela função:
Agora escrevo
em função de
, isto é
. Substituindo:
Passo 5
Continuando a simplificação algébrica:
Portanto a expressão original vira, após a substituição,
Passo 6
Agora aplico o limite conhecido
. Como
é constante, posso tirar do limite:
Pronto — deu uma manipulação simples: substituição + uso do limite fundamental.