Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(7 x)}{8 x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite quando x tende a 0 da expressão abaixo:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{8x}.
Informações dadas:
\operatorname{sen}(7x) aparece no numerador, 8x no denominador, e a variável que tende a zero é x. Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

O objetivo é transformar essa expressão em algo que eu já saiba calcular. Um fato muito útil (e padrão em provas) é o limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Aqui estou usando \sin como o seno trigonométrico (mesma função indicada por \operatorname{sen} no enunciado). Vou explicar por que esse limite vale e depois vou usar uma substituição para adaptar o problema a esse caso conhecido.

Passo 3

Justificativa do limite fundamental \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 (explicação didática):
  • Para 0<t<\frac{\pi}{2} usamos uma argumentação geométrica (comparação de áreas) que dá a desigualdade
\sin t < t < \tan t.
  • Dividindo todos os termos por t (positivo nesse intervalo) obtemos
\frac{\sin t}{t} < 1 < \frac{\tan t}{t}.
  • Reescrevendo \frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t} e manipulando a desigualdade apropriada, chega-se à forma mais usada
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1\qquad\text{para }0<t<\frac{\pi}{2}.
  • Como \displaystyle\lim_{t\to0}\cos t=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t}=1.
  • Para t\to0^- usamos que \frac{\sin t}{t} é par (porque \sin(-t)=-\sin t e o sinal se cancela), então o limite pela esquerda é o mesmo. Portanto
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Observação: essa é a ferramenta principal que vou usar no exercício.

Passo 4

Faço a substituição simples para adaptar o nosso limite ao caso acima. Defino
t=7x.
Quando x\to 0 temos também t\to 0. Reescrevo a expressão original em termos de t. Começo pela função:
\frac{\sin(7x)}{8x}=\frac{\sin t}{8x}.
Agora escrevo x em função de t, isto é x=\dfrac{t}{7}. Substituindo:
\frac{\sin t}{8x}=\frac{\sin t}{8\cdot \dfrac{t}{7}}.

Passo 5

Continuando a simplificação algébrica:
\frac{\sin t}{8\cdot \dfrac{t}{7}}=\frac{\sin t}{\dfrac{8t}{7}}=\frac{7}{8}\cdot\frac{\sin t}{t}.
Portanto a expressão original vira, após a substituição,
\frac{\sin(7x)}{8x}=\frac{7}{8}\cdot\frac{\sin t}{t}\quad\text{com }t=7x.

Passo 6

Agora aplico o limite conhecido \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. Como \dfrac{7}{8} é constante, posso tirar do limite:
\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{8x}=\frac{7}{8}\cdot\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=\frac{7}{8}\cdot 1=\frac{7}{8}.
Pronto — deu uma manipulação simples: substituição + uso do limite fundamental.

Resposta

\dfrac{7}{8}

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