Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \cos (x) \operatorname{sec} (5 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to\bigl(\frac{\pi}{2}\bigr)^{-}} \cos(x)\,\operatorname{sec}(5x).
Este limite envolve funções trigonométricas e leva a uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar substituição próxima a \frac{\pi}{2} e as equivalências de pequenos ângulos para resolver.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a expressão em uma única fração:
\cos(x)\,\operatorname{sec}(5x) = \frac{\cos(x)}{\cos(5x)}.
Quando x\to\frac{\pi}{2}, temos \cos(x)\to0 e \cos(5x)\to\cos\bigl(5\cdot\frac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. Logo aparece a forma \tfrac{0}{0}, e precisamos manipular para extrair o valor do limite.

Passo 3

Definimos
h = \frac{\pi}{2} - x,
de modo que h\to0^+ quando x\to\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^-. Então:
\cos(x) = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-h\bigr) = \sin(h),
e
5x = 5\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-h\Bigr) = 2\pi + \tfrac{\pi}{2} - 5h \quad\Longrightarrow\quad \cos(5x) = \cos\bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{2}-5h\bigr) = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}-5h\bigr) = \sin(5h).
Substituindo, o limite fica
\lim_{h\to0^+} \frac{\sin(h)}{\sin(5h)}.

Passo 4

Usamos a equivalência para pequenos ângulos \sin(\theta)\sim\theta quando \theta\to0. Assim,
\lim_{h\to0^+} \frac{\sin(h)}{\sin(5h)} = \lim_{h\to0^+} \frac{h}{5h} = \frac{1}{5}.

Resposta

\tfrac{1}{5}

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