Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow \pi / 2}[2 \operatorname{sen} x-\cos x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a \pi/2:
\lim_{x \rightarrow \pi/2}\bigl[2\,\operatorname{sen} x - \cos x\bigr].
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é 2\,\operatorname{sen} x - \cos x.
  • O ponto de aproximação é x \to \pi/2.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades de limites que usaremos (essas são regras básicas que permitem separar a expressão):
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
desde que os limites individuais existam. Essas fórmulas significam, em palavras: o limite da soma/diferença é a soma/diferença dos limites, e constantes podem ser puxadas para fora do limite.

Passo 3

Aplicando a linearidade do limite à nossa expressão, obtemos:
\lim_{x \rightarrow \pi/2}\bigl[2\,\operatorname{sen} x - \cos x\bigr] =2\lim_{x \rightarrow \pi/2}\operatorname{sen} x \;-\; \lim_{x \rightarrow \pi/2}\cos x.

Passo 4

Agora vamos usar uma ideia importante: as funções trigonométricas \operatorname{sen} x e \cos x são contínuas em todo número real. A definição prática de continuidade que usamos aqui é:
se f é contínua em a, então \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Como \operatorname{sen} x e \cos x são contínuas em \pi/2, podemos substituir o limite pelo valor da função no ponto:
\lim_{x \rightarrow \pi/2}\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right), \qquad \lim_{x \rightarrow \pi/2}\cos x = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Calcule os valores trigonométricos em \pi/2. No círculo unitário, o ângulo \tfrac{\pi}{2} corresponde ao ponto (0,1), portanto:
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, \qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão do Passo 3:
2\lim_{x \rightarrow \pi/2}\operatorname{sen} x \;-\; \lim_{x \rightarrow \pi/2}\cos x =2\cdot 1 - 0 = 2.

Resposta

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