Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão dentro do limite é
. - O ponto de aproximação é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades de limites que usaremos (essas são regras básicas que permitem separar a expressão):
desde que os limites individuais existam. Essas fórmulas significam, em palavras: o limite da soma/diferença é a soma/diferença dos limites, e constantes podem ser puxadas para fora do limite.
Passo 3
Aplicando a linearidade do limite à nossa expressão, obtemos:
Passo 4
Agora vamos usar uma ideia importante: as funções trigonométricas
e
são contínuas em todo número real. A definição prática de continuidade que usamos aqui é:
se é contínua em
, então
.
Como e
são contínuas em
, podemos substituir o limite pelo valor da função no ponto:
se
Como
Passo 5
Calcule os valores trigonométricos em
. No círculo unitário, o ângulo
corresponde ao ponto
, portanto:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão do Passo 3: