Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma soma de funções trigonométricas:
, e . - O ponto de aproximação é
.
O que é pedido: encontrar o valor numérico do limite quandotende a .
Passo 2
Relembrando propriedades de limites que vamos usar (explicação didática):
- Linearidade: a soma de limites é o limite da soma, e constantes podem sair do limite. Em fórmulas,
onde
é constante. Essas propriedades permitem separar a expressão em partes mais simples.
- Continuidade das funções trigonométricas:
e são contínuas para todo , então
A função
é contínua em pontos onde
, então se
vale
Essas propriedades justificam que podemos simplesmente substituir
quando a função é contínua no ponto.
Passo 3
Verificar se podemos aplicar substituição direta em
:
- Primeiro,
é diferente de zero? Avaliando no círculo trigonométrico, em o ponto na circunferência é , logo
Assim
, portanto
é definida e contínua em
. Logo podemos aplicar a propriedade de continuidade para todas as três funções no ponto
.
Passo 4
Calcular os limites das partes separadamente, por substituição direta:
Explicando rapidamente:
porque no ângulo
(180°) a coordenada
no círculo unitário é
;
porque a coordenada
é
;
.
Passo 5
Aplicar linearidade do limite e substituir os valores encontrados:
Passo 6
Comentário final curto e encorajador: deu pra ver que era só checar continuidade e substituir — técnica que vale pra muita coisa em provas. Força aí, você já dominou esse tipo de limite!