Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow \pi}[4 \operatorname{sen} x-2 \cos x+5 \operatorname{tg} x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\pi}\bigl[4\operatorname{sen} x - 2\cos x + 5\operatorname{tg} x\bigr].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma soma de funções trigonométricas: \operatorname{sen} x, \cos x e \operatorname{tg} x.
  • O ponto de aproximação é x=\pi.
    O que é pedido: encontrar o valor numérico do limite quando x tende a \pi.

Passo 2

Relembrando propriedades de limites que vamos usar (explicação didática):
  • Linearidade: a soma de limites é o limite da soma, e constantes podem sair do limite. Em fórmulas,
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x), \qquad \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
onde c é constante. Essas propriedades permitem separar a expressão em partes mais simples.
  • Continuidade das funções trigonométricas: \operatorname{sen} x e \cos x são contínuas para todo x, então
\lim_{x\to a}\operatorname{sen} x=\operatorname{sen} a,\qquad \lim_{x\to a}\cos x=\cos a.
A função \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} é contínua em pontos onde \cos a\neq 0, então se \cos a\neq 0 vale
\lim_{x\to a}\operatorname{tg} x=\operatorname{tg} a.
Essas propriedades justificam que podemos simplesmente substituir x=a quando a função é contínua no ponto.

Passo 3

Verificar se podemos aplicar substituição direta em a=\pi:
  • Primeiro, \cos\pi é diferente de zero? Avaliando no círculo trigonométrico, em x=\pi o ponto na circunferência é (-1,0), logo
\operatorname{sen}\pi=0,\qquad \cos\pi=-1.
Assim \cos\pi=-1\neq 0, portanto \operatorname{tg} x é definida e contínua em x=\pi. Logo podemos aplicar a propriedade de continuidade para todas as três funções no ponto x=\pi.

Passo 4

Calcular os limites das partes separadamente, por substituição direta:
\lim_{x\to\pi}\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}\pi=0, \qquad \lim_{x\to\pi}\cos x=\cos\pi=-1, \qquad \lim_{x\to\pi}\operatorname{tg} x=\operatorname{tg}\pi=0.
Explicando rapidamente: \operatorname{sen}\pi=0 porque no ângulo \pi (180°) a coordenada y no círculo unitário é 0; \cos\pi=-1 porque a coordenada x é -1; \operatorname{tg}\pi=\dfrac{\operatorname{sen}\pi}{\cos\pi}=\dfrac{0}{-1}=0.

Passo 5

Aplicar linearidade do limite e substituir os valores encontrados:
\begin{aligned} \lim_{x\to\pi}\bigl[4\operatorname{sen} x - 2\cos x + 5\operatorname{tg} x\bigr] &=4\cdot\lim_{x\to\pi}\operatorname{sen} x - 2\cdot\lim_{x\to\pi}\cos x + 5\cdot\lim_{x\to\pi}\operatorname{tg} x\\[4pt] &=4\cdot 0 - 2\cdot(-1) + 5\cdot 0\\[4pt] &=0 + 2 + 0 = 2. \end{aligned}]

Passo 6

Comentário final curto e encorajador: deu pra ver que era só checar continuidade e substituir — técnica que vale pra muita coisa em provas. Força aí, você já dominou esse tipo de limite!

Resposta

2

Exercícios relacionados