Calcule os limites das sequências abaixo, se existirem:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}
quando n \to \infty. O conteúdo é cálculo de limite de sequência com radicais, e vamos usar fatoração dentro da raiz e propriedades de limite e continuidade.

Passo 2

Para simplificar a_{n}, note que para n>0 vale \sqrt{n^{2}}=n. Assim,
\sqrt{n^{2}+1} = \sqrt{n^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)} = n\,\sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Substituindo em a_{n}, obtemos
a_{n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n} = \frac{n\,\sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}}}{n} = \sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 4

Como \tfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty e a função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, segue
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}} = \sqrt{1+0} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados