Calcule os limites das sequências abaixo, se existirem:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n. Esse é um problema de limite de sequência e envolve a definição do número \mathrm e. Para descobrir esse limite, vamos usar a propriedade do logaritmo natural e a expansão em série de \ln(1+x) quando x\to0.

Passo 2

Defina
a_n = \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n.
Então
\ln a_n = n \,\ln\Bigl(1+\frac1n\Bigr).
Como x\to0,
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3).
Aqui x=\tfrac1n\to0, logo
\ln a_n = n\Bigl(\frac1n-\frac1}{2n^2}+O\bigl(\tfrac1{n^3}\bigr)\Bigr) =1-\frac1{2n}+O\bigl(\tfrac1{n^2}\bigr).
À medida que n\to\infty, tem-se \ln a_n\to1. Como a função \exp é contínua,
a_n = \exp(\ln a_n)\to\exp(1)=\mathrm e.

Resposta

\displaystyle \mathrm e

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