Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Importante: para
próximo de (por exemplo ), a base é positiva, então o logaritmo natural está bem definido quando precisarmos usá‑lo.
Passo 2
Vamos chamar o limite que queremos de
:
Uma técnica muito útil para limites de potências é tomar o logaritmo natural. Se
e
existe e é finito, então
Aplicando isso aqui (a base
é positiva perto de
), obtemos
Passo 3
Fatorando a constante
que não depende de
, temos
Agora a tarefa reduziu‑se a calcular
.
Passo 4
Vamos calcular
. Há várias maneiras; aqui explico duas curtas e intuitivas:
Método A — série (expansão de Taylor): para
pequeno,
Dividindo por
dá
e ao deixar
todos os termos com
vão para
, sobrando
. Logo
Método B — regra de L’Hôpital / definição de derivada: a expressão é do tipo
quando
. Aplicando L’Hôpital,
Também podemos ver isso como a definição da derivada: é
em
que vale
.
Portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado em
temos
Agora aplicamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo: