Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{3 x}}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{3x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é (1+x)^{\frac{1}{3x}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Importante: para x próximo de 0 (por exemplo -1<x ), a base 1+x é positiva, então o logaritmo natural está bem definido quando precisarmos usá‑lo.

Passo 2

Vamos chamar o limite que queremos de L:
L=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{3x}}.
Uma técnica muito útil para limites de potências é tomar o logaritmo natural. Se f(x)>0 e \lim_{x\to 0} f(x) existe e é finito, então
\ln\!\big(\lim_{x\to 0} f(x)\big)=\lim_{x\to 0}\ln f(x).
Aplicando isso aqui (a base 1+x é positiva perto de 0), obtemos
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3x}\ln(1+x).

Passo 3

Fatorando a constante \tfrac{1}{3} que não depende de x, temos
\ln L=\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
Agora a tarefa reduziu‑se a calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}. Há várias maneiras; aqui explico duas curtas e intuitivas:
Método A — série (expansão de Taylor): para x pequeno,
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots.
Dividindo por x
\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\cdots,
e ao deixar x\to 0 todos os termos com x vão para 0, sobrando 1. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Método B — regra de L’Hôpital / definição de derivada: a expressão é do tipo 0/0 quando x\to 0. Aplicando L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}\ln(1+x)}{\frac{d}{dx}x} =\lim_{x\to 0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.
Também podemos ver isso como a definição da derivada: é (\ln(1+x))' em x=0 que vale 1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \ln L temos
\ln L=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Agora aplicamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo:
L=e^{\ln L}=e^{1/3}.

Resposta

e^{1/3}

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