Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Observação imediata sobre os valores ao aproximarde :
portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Quando um limite tem a forma indeterminada
, um método padrão e simples para resolver é a Regra de L’Hôpital. Vou explicar direitinho essa regra e por que podemos usá-la aqui.
Regra de L’Hôpital (versão para
): se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
e se o limite
existe (ou é
), então
Explicando em palavras: em situações
(ou
), às vezes é mais fácil calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador do que das próprias funções.
No nosso caso podemos aplicar a regra porque já vimos que as duas funções tendem a
quando
e ambas são diferenciáveis perto de
.
Passo 3
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital. Definimos
Precisamos calcular
e
.
Cálculo de
: usar a regra da cadeia. Se
então
. Aqui
, logo
. Portanto
Cálculo de
: è uma função linear, então
Pela Regra de L’Hôpital temos
Passo 4
Agora avaliamos o limite simples obtido:
Calculando
dá
, então o quociente é
.
Passo 5
Para consolidar a intuição, uma alternativa curta (sem derivadas) é usar a substituição
. Quando
tem-se
e
. Assim a expressão vira
e sabe-se que
(essa é uma forma padrão do limite da função logaritmo). Isso confirma o resultado obtido acima.