Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0,5}\left(\frac{\ln (2 x)}{2 x-1}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0,5}\left(\frac{\ln(2x)}{2x-1}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é \ln(2x).
  • A função no denominador é 2x-1.
  • O ponto de interesse é x\rightarrow 0,5.
    Observação imediata sobre os valores ao aproximar x de 0,5:
\ln(2\cdot 0,5)=\ln(1)=0,\qquad 2\cdot 0,5-1=0,
portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Quando um limite tem a forma indeterminada 0/0, um método padrão e simples para resolver é a Regra de L’Hôpital. Vou explicar direitinho essa regra e por que podemos usá-la aqui.
Regra de L’Hôpital (versão para 0/0): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e se o limite \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Explicando em palavras: em situações 0/0 (ou \infty/\infty), às vezes é mais fácil calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador do que das próprias funções.
No nosso caso podemos aplicar a regra porque já vimos que as duas funções tendem a 0 quando x\to 0,5 e ambas são diferenciáveis perto de 0,5.

Passo 3

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital. Definimos
f(x)=\ln(2x),\qquad g(x)=2x-1.
Precisamos calcular f'(x) e g'(x).
Cálculo de f'(x): usar a regra da cadeia. Se f(x)=\ln(u(x)) então f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=2x, logo u'(x)=2. Portanto
f'(x)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.
Cálculo de g'(x): è uma função linear, então
g'(x)=2.
Pela Regra de L’Hôpital temos
\lim_{x\rightarrow 0,5}\frac{\ln(2x)}{2x-1} =\lim_{x\rightarrow 0,5}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\rightarrow 0,5}\frac{1/x}{2} =\lim_{x\rightarrow 0,5}\frac{1}{2x}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite simples obtido:
\lim_{x\rightarrow 0,5}\frac{1}{2x}=\frac{1}{2\cdot 0,5}.
Calculando 2\cdot 0,5 1, então o quociente é 1.

Passo 5

Para consolidar a intuição, uma alternativa curta (sem derivadas) é usar a substituição t=2x-1. Quando x\to 0,5 tem-se t\to 0 e 2x=1+t. Assim a expressão vira
\frac{\ln(1+t)}{t},
e sabe-se que \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1 (essa é uma forma padrão do limite da função logaritmo). Isso confirma o resultado obtido acima.

Resposta

1

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