Calcule os limites usando a regra de L’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)^{b\,x}
Esse tipo de expressão é do tipo (1+0)^{\infty}, que costuma ser transformada em uma exponencial para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos escrever
L = \exp\Bigl(\lim_{x\to\infty} b\,x\;\ln\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)\Bigr).
Definimos o expoente
E = \lim_{x\to\infty} b\,x\;\ln\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr),
de modo que L = e^{E}.

Passo 3

Note que, conforme x\to\infty, temos \ln(1+a/x)\to0 e x\to\infty, de modo que b\,x\ln(1+a/x) é um tipo indeterminado 0\cdot\infty. Para usar L’Hôpital, reescrevemos
E = \lim_{x\to\infty} b\;\frac{\ln\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)}{1/x},
que agora é um tipo 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital ao quociente
\frac{\ln\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)}{1/x},
derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • Derivada de \ln(1+a/x) é
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr) = \frac{1}{1+\tfrac{a}{x}}\cdot\bigl(-\tfrac{a}{x^{2}}\bigr) = -\frac{a}{x^{2}(1+\tfrac{a}{x})}.
  • Derivada de 1/x é -1/x^{2}.
Logo, pelo L’Hôpital,
E = b\;\lim_{x\to\infty} \frac{-\dfrac{a}{x^{2}(1+\tfrac{a}{x})}}{-1/x^{2}} = b\;\lim_{x\to\infty}\frac{a}{1+\tfrac{a}{x}} = b\,a.

Passo 5

Como E = b\,a, voltamos à expressão de L:
L = e^{E} = e^{b\,a}.

Resposta

\boxed{e^{a\,b}}

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