Calcule os limites usando a regra de L’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{cotg} x-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\Bigl(\operatorname{cotg} x - \frac{1}{x}\Bigr).
Aqui o conteúdo é cálculo de limites e a ferramenta principal será a regra de L’Hôspital, que diz que se uma expressão do tipo \frac{f(x)}{g(x)} tende a \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty} quando x\to a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse segundo limite exista.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar os termos numa única fração:
\operatorname{cotg} x - \frac{1}{x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x\cos x - \sin x}{x\sin x}.
Quando x\to 0, tanto o numerador x\cos x - \sin x quanto o denominador x\sin x vão a zero, gerando a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôspital, diferenciando numerador e denominador:
Numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x - \sin x\bigr) = \cos x - x\sin x - \cos x = -\,x\sin x.
Denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x\sin x\bigr) = 1\cdot\sin x + x\cos x = \sin x + x\cos x.
Logo o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{-\,x\sin x}{\sin x + x\cos x}.

Passo 4

Para x pequeno, usamos as aproximações \sin x\approx x e \cos x\approx1. Assim,
numerador \approx -\,x\cdot x = -\,x^2,
denominador \approx x + x\cdot1 = 2x.
Portanto
\frac{-\,x^2}{2x} = -\frac{x}{2}\longrightarrow 0 \quad\text{quando }x\to0.

Resposta

0

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