Calcule o livre percurso médio de uma molécula de hidrogênio a 298 K a uma baixa pressão de 10^{-5} torr, sabendo que a seção eficaz de colisão é 0,230 \times 10^{-18} \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o livre percurso médio de uma molécula de hidrogênio à temperatura T=298\\ \mathrm{K} e pressão baixa de p=10^{-5}\\ \text{torr}, sabendo que a seção eficaz de colisão é \sigma=0,230\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^{2}.
Informações dadas (pego do enunciado):
  • T=298\\ \mathrm{K}.
  • p=10^{-5}\\ \text{torr}.
  • \sigma=0,230\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê.
O livre percurso médio \lambda (distância média que uma molécula percorre entre colisões) em um gás ideal rarificado é dado pela fórmula
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde:
  • n é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por metro cúbico), em \mathrm{m}^{-3};
  • \sigma é a seção eficaz de colisão entre moléculas, em \mathrm{m}^{2};
  • o fator \sqrt{2} aparece porque, para colisões entre partículas idênticas com velocidades aleatórias, a taxa de encontro efetiva entre pares é aumentada pela combinação das velocidades relativas — é uma correção geométrica padrão na teoria cinética.
Para encontrar \lambda precisamos, portanto, calcular n. Usamos a equação de estado do gás ideal em forma microscópica:
n=\frac{p}{k_B T},
onde k_B é a constante de Boltzmann. Vou explicar cada constante:
  • k_B (constante de Boltzmann) relaciona energia térmica por partícula com temperatura; valor adotado: k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • p deve estar em pascais ( \mathrm{Pa}) para manter consistência SI.

Passo 3

Converter a pressão de torr para pascal.
A conversão é 1\\ \text{torr}=133,322\\ \mathrm{Pa}. Então
p = 10^{-5}\\ \text{torr} = 10^{-5}\times133,322\\ \mathrm{Pa}=1,33322\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a densidade numérica n.
Usando n=\dfrac{p}{k_B T} e substituindo os valores:
k_B T = \left(1,380649\times10^{-23}\right)\times 298 = 4,11433402\times10^{-21}\\ \mathrm{J},
n=\frac{1,33322\times10^{-3}}{4,11433402\times10^{-21}}=3,2398\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Explicação didática: k_B T tem unidades de energia por partícula; dividir a pressão (força por área) por essa energia por volume dá o número de partículas por volume. Esse n é bem pequeno em comparação com condições de atmosfera, porque a pressão é extremamente baixa.

Passo 5

Calcular \lambda a partir da fórmula \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
Substituindo n=3,2398\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{-3} e \sigma=0,230\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^{2}=2,30\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^{2}:
\sqrt{2}\,n\,\sigma = \sqrt{2}\times\left(3,2398\times10^{17}\right)\times\left(2,30\times10^{-19}\right)=1,05373\times10^{-1}.
Portanto
\lambda=\frac{1}{1,05373\times10^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e comentário final.
O resultado significa que, a essa pressão muito baixa, uma molécula de hidrogênio percorre em média dezenas de metros entre colisões — isso indica regime fortemente rarificado (muito comum em vácuo alto). Bons apontamentos para prova: sempre verifique unidades (torr → Pa), use n=p/(k_B T) e a fórmula com \sqrt{2}; se a seção eficaz estiver em \times10^{-18}\\ \mathrm{m}^2 converta corretamente para notação científica antes de multiplicar.

Resposta

\lambda\approx9,49\\ \mathrm{m}

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