Calcule a velocidade média quadrática, a velocidade média e a velocidade mais provável de uma molécula de oxigênio a 300 K e a 500 K . Compare com os valores para o hidrogênio.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pedem três quantidades para cada caso: a velocidade média quadrática (root-mean-square), a velocidade média (média aritmética das velocidades segundo Maxwell–Boltzmann) e a velocidade mais provável (modo da distribuição) de uma molécula.
- Temperaturas dadas:
e . - Substâncias: molécula de oxigênio (
) e molécula de hidrogênio ( ). - Valores que usarei (peguei estes valores de tabelas de constantes físicas):
- Constante dos gases:
. - Massa molar do
: . - Massa molar do
: .
- Constante dos gases:
- O enunciado pede também comparar os valores de
com os de .
Passo 2
Fórmulas que vamos usar e significado das variáveis (explicação didática):
- As três velocidades para a distribuição de Maxwell–Boltzmann, em função da temperatura
e da massa molar (por mol), são:
Onde:
-
é a velocidade quadrática média (root-mean-square). Está relacionada à energia cinética média por molécula: (aqui usamos e para trabalhar por mol). -
é a velocidade média (média aritmética das velocidades segundo a distribuição). -
é a velocidade mais provável (o pico da distribuição de velocidades). -
é a constante dos gases, é a temperatura absoluta em kelvin e é a massa molar em . - Relações úteis entre elas (para entender as razões numéricas):
Estas relações vêm de dividir as fórmulas acima; servem para calcular e a partir de sem repetir muitos cálculos.
Passo 3
Cálculo para
a
— passo a passo numérico:
- Primeiro calcule o fator
para :
Logo
- Agora use as relações para
e :
Passo 4
Cálculo para
a
usando escala
:
- Como todas as velocidades escalam como
, podemos multiplicar os valores a por .
Passo 5
Cálculo para
a
e
— ideia e números:
- Como
, a razão entre as velocidades de e é . Ou seja, as velocidades do são cerca de vezes as do nas mesmas temperaturas. - Assim:
- Para
:
- Para
- Para
multiplica-se os valores de por :
Passo 6
Interpretação e comparação (resumo qualitativo):
- Em igual temperatura,
é muito mais rápido que porque sua massa molar é muito menor. Numericamente, as velocidades do são aproximadamente vezes maiores do que as de nas mesmas temperaturas. - Aumentar a temperatura de
para aumenta todas as velocidades em um fator (aumenta cerca de em valor).