Calcule a velocidade média quadrática, a velocidade média e a velocidade mais provável de uma molécula de oxigênio a 300 K e a 500 K . Compare com os valores para o hidrogênio.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pedem três quantidades para cada caso: a velocidade média quadrática (root-mean-square), a velocidade média (média aritmética das velocidades segundo Maxwell–Boltzmann) e a velocidade mais provável (modo da distribuição) de uma molécula.
  • Temperaturas dadas: 300\\ \mathrm{K} e 500\\ \mathrm{K}.
  • Substâncias: molécula de oxigênio ( \mathrm{O}_2) e molécula de hidrogênio ( \mathrm{H}_2).
  • Valores que usarei (peguei estes valores de tabelas de constantes físicas):
    • Constante dos gases: R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    • Massa molar do \mathrm{O}_2: M_{\mathrm{O}_2} = 32{,}00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} = 0,03200\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
    • Massa molar do \mathrm{H}_2: M_{\mathrm{H}_2} = 2{,}016\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} = 0,002016\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
  • O enunciado pede também comparar os valores de \mathrm{O}_2 com os de \mathrm{H}_2.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar e significado das variáveis (explicação didática):
  • As três velocidades para a distribuição de Maxwell–Boltzmann, em função da temperatura T e da massa molar M (por mol), são: v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
\bar v=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}},
v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}.
Onde:
  • v_{\mathrm{rms}} é a velocidade quadrática média (root-mean-square). Está relacionada à energia cinética média por molécula: \tfrac{1}{2}m v_{\mathrm{rms}}^{2}=\tfrac{3}{2}kT (aqui usamos R e M para trabalhar por mol).
  • \bar v é a velocidade média (média aritmética das velocidades segundo a distribuição).
  • v_{\mathrm{mp}} é a velocidade mais provável (o pico da distribuição de velocidades).
  • R é a constante dos gases, T é a temperatura absoluta em kelvin e M é a massa molar em \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
  • Relações úteis entre elas (para entender as razões numéricas): \bar v = v_{\mathrm{rms}}\sqrt{\dfrac{8}{3\pi}},\qquad v_{\mathrm{mp}} = v_{\mathrm{rms}}\sqrt{\dfrac{2}{3}}.Estas relações vêm de dividir as fórmulas acima; servem para calcular \bar v e v_{\mathrm{mp}} a partir de v_{\mathrm{rms}} sem repetir muitos cálculos.

Passo 3

Cálculo para \mathrm{O}_2 a T=300\\ \mathrm{K} — passo a passo numérico:
  • Primeiro calcule o fator 3RT/M para v_{\mathrm{rms}}: 3RT = 3\cdot 8{,}314462618\cdot 300 = 7483{,}0163562\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
\dfrac{3RT}{M_{\mathrm{O}_2}}=\dfrac{7483{,}0163562}{0{,}03200}=233844{,}26113125\\ \mathrm{m^2\;s^{-2}}.
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v_{\mathrm{rms}}(\mathrm{O}_2,300\\ \mathrm{K})=\sqrt{233844{,}26113125}\approx 483{,}65\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora use as relações para \bar v e v_{\mathrm{mp}}: \bar v(\mathrm{O}_2,300\\ \mathrm{K})=v_{\mathrm{rms}}\sqrt{\dfrac{8}{3\pi}} \approx 483{,}65\cdot 0{,}921317\approx 445{,}41\\ \mathrm{m/s}.
v_{\mathrm{mp}}(\mathrm{O}_2,300\\ \mathrm{K})=v_{\mathrm{rms}}\sqrt{\dfrac{2}{3}} \approx 483{,}65\cdot 0{,}816497\approx 395{,}04\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo para \mathrm{O}_2 a T=500\\ \mathrm{K} usando escala \propto\sqrt{T}:
  • Como todas as velocidades escalam como \sqrt{T}, podemos multiplicar os valores a 300\\ \mathrm{K} por \sqrt{500/300}=\sqrt{5/3}\approx 1{,}290994. v_{\mathrm{rms}}(\mathrm{O}_2,500\\ \mathrm{K})\approx 483{,}65\cdot 1{,}290994\approx 624{,}53\\ \mathrm{m/s}.
\bar v(\mathrm{O}_2,500\\ \mathrm{K})\approx 445{,}41\cdot 1{,}290994\approx 575{,}52\\ \mathrm{m/s}.
v_{\mathrm{mp}}(\mathrm{O}_2,500\\ \mathrm{K})\approx 395{,}04\cdot 1{,}290994\approx 509{,}90\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo para \mathrm{H}_2 a 300\\ \mathrm{K} e 500\\ \mathrm{K} — ideia e números:
  • Como v\propto 1/\sqrt{M}, a razão entre as velocidades de \mathrm{H}_2 e \mathrm{O}_2 é \sqrt{M_{\mathrm{O}_2}/M_{\mathrm{H}_2}}. \sqrt{\dfrac{M_{\mathrm{O}_2}}{M_{\mathrm{H}_2}}}=\sqrt{\dfrac{0{,}03200}{0{,}002016}}\approx 3{,}987.Ou seja, as velocidades do \mathrm{H}_2 são cerca de 3{,}99 vezes as do \mathrm{O}_2 nas mesmas temperaturas.
  • Assim:
    • Para T=300\\ \mathrm{K}: v_{\mathrm{rms}}(\mathrm{H}_2,300\\ \mathrm{K})\approx 483{,}65\cdot 3{,}987\approx 1\,927{,}9\\ \mathrm{m/s},
\bar v(\mathrm{H}_2,300\\ \mathrm{K})\approx 445{,}41\cdot 3{,}987\approx 1\,774{,}8\\ \mathrm{m/s},
v_{\mathrm{mp}}(\mathrm{H}_2,300\\ \mathrm{K})\approx 395{,}04\cdot 3{,}987\approx 1\,574{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Para T=500\\ \mathrm{K} multiplica-se os valores de 300\\ \mathrm{K} por \sqrt{500/300}\approx 1{,}290994: v_{\mathrm{rms}}(\mathrm{H}_2,500\\ \mathrm{K})\approx 1\,927{,}9\cdot 1{,}290994\approx 2\,489{,}7\\ \mathrm{m/s},
\bar v(\mathrm{H}_2,500\\ \mathrm{K})\approx 1\,774{,}8\cdot 1{,}290994\approx 2\,293{,}7\\ \mathrm{m/s},
v_{\mathrm{mp}}(\mathrm{H}_2,500\\ \mathrm{K})\approx 1\,574{,}0\cdot 1{,}290994\approx 2\,029{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação e comparação (resumo qualitativo):
  • Em igual temperatura, \mathrm{H}_2 é muito mais rápido que \mathrm{O}_2 porque sua massa molar é muito menor. Numericamente, as velocidades do \mathrm{H}_2 são aproximadamente 3{,}99 vezes maiores do que as de \mathrm{O}_2 nas mesmas temperaturas.
  • Aumentar a temperatura de 300\\ \mathrm{K} para 500\\ \mathrm{K} aumenta todas as velocidades em um fator \sqrt{500/300}\approx 1{,}291 (aumenta cerca de 29{,}1\% em valor).

Resposta

\mathrm{O}_2,\;300\\ \mathrm{K}:\\ v_{\mathrm{rms}}=483{,}65\\ \mathrm{m/s},\\ \bar v=445{,}41\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{mp}}=395{,}04\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{O}_2,\;500\\ \mathrm{K}:\\ v_{\mathrm{rms}}=624{,}53\\ \mathrm{m/s},\\ \bar v=575{,}52\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{mp}}=509{,}90\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{H}_2,\;300\\ \mathrm{K}:\\ v_{\mathrm{rms}}=1\,927{,}9\\ \mathrm{m/s},\\ \bar v=1\,774{,}8\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{mp}}=1\,574{,}0\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{H}_2,\;500\\ \mathrm{K}:\\ v_{\mathrm{rms}}=2\,489{,}7\\ \mathrm{m/s},\\ \bar v=2\,293{,}7\\ \mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{mp}}=2\,029{,}9\\ \mathrm{m/s}

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