Calcule os logaritmos, utilizando a definição:
\log _{8} \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\log_{8}\frac{1}{2}.
Ou seja, precisamos encontrar o número x tal que a potência de 8 com expoente x seja igual a \tfrac{1}{2}. Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

Definição de logaritmo (explicação didática): para base a e argumento b, com a>0, a\neq1 e b>0, dizemos que
\log_{a} b = x
se, e somente se,
a^{x} = b.
Aqui:
  • a é a base do logaritmo (um número positivo diferente de 1);
  • b é o argumento (um número positivo);
  • x é o valor do logaritmo que queremos encontrar.
    Essa definição nos permite passar entre a forma logaritmica e a forma exponencial — é a ideia-chave: logaritmo responde “qual expoente faz a virar b?”.
Exemplo rápido e concreto: \log_{10}100=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema: seja
x=\log_{8}\frac{1}{2}.
Pela definição, isso significa
8^{x}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Escolha prática para resolver: escrever ambas as quantidades com a mesma base facilita muito. Observação útil: 8 e \tfrac{1}{2} são potências de 2:
8=2^{3},\qquad \frac{1}{2}=2^{-1}.
Usamos essa reescrita porque quando duas potências têm a mesma base (aqui 2), podemos comparar diretamente os expoentes.

Passo 5

Substituindo na equação 8^{x}=\tfrac{1}{2} obtemos
(2^{3})^{x}=2^{-1}.
Pela regra de expoentes (a^{m})^{n}=a^{mn}, isso vira
2^{3x}=2^{-1}.

Passo 6

Como as potências têm a mesma base 2 (base positiva e diferente de 1), os expoentes devem ser iguais:
3x=-1.
Resolve-se para x:
x=-\frac{1}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (checar sempre ajuda a evitar erro): calcular 8^{-\tfrac{1}{3}}.
8^{-\tfrac{1}{3}}=(2^{3})^{-\tfrac{1}{3}}=2^{3\cdot(-\tfrac{1}{3})}=2^{-1}=\frac{1}{2},
logo está consistente com a definição.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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