Calcule a massa e o centro massa do cubo de arestas iguais a A cuja densidade é dada por:
p(x, y, z)=x^{3}+y^{2}+z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de massa (\bar x,\bar y,\bar z) de um cubo de aresta A com densidade variável
p(x,y,z)=x^3+y^2+z^2
em que o cubo está alinhado aos eixos e vai de 0 a A em cada coordenada.
Vamos usar as fórmulas
M=\iiint_{\!V}p(x,y,z)\,dV, \quad \bar x=\frac1M\iiint_{\!V}x\,p(x,y,z)\,dV,
e análogas para \bar y e \bar z.

Passo 2

Calcular a massa como soma de três integrais separáveis:
M =\int_{0}^{A}\!\!\int_{0}^{A}\!\!\int_{0}^{A}\bigl(x^3+y^2+z^2\bigr)\,dz\,dy\,dx =I_1+I_2+I_3
com
I_1 =\int_{0}^{A}x^3\,dx\;\int_{0}^{A}dy\;\int_{0}^{A}dz =\frac{A^4}{4}\,A\,A=\frac{A^6}{4},
I_2 =\int_{0}^{A}y^2\,dy\;\int_{0}^{A}dz\;\int_{0}^{A}dx =\frac{A^3}{3}\,A\,A=\frac{A^5}{3},
I_3 =\int_{0}^{A}z^2\,dz\;\int_{0}^{A}dx\;\int_{0}^{A}dy =\frac{A^3}{3}\,A\,A=\frac{A^5}{3}.
Logo
M=\frac{A^6}{4}+2\cdot\frac{A^5}{3} =\frac{A^5}{12}\bigl(3A+8\bigr).

Passo 3

Calcular o numerador de \bar x:
I_x =\iiint_{V}x\,(x^3+y^2+z^2)\,dV =\int_{0}^{A}x^4dx\;A\;A +\int_{0}^{A}x\,dx\;\int_{0}^{A}y^2dy\;\int_{0}^{A}dz +\int_{0}^{A}x\,dx\;\int_{0}^{A}dz^2dz\;\int_{0}^{A}dy.
Cada termo vale
\int_{0}^{A}x^4dx\,A^2=\frac{A^5}{5}A^2=\frac{A^7}{5}, \quad \int_{0}^{A}x\,dx\,\int_{0}^{A}y^2dy\,\int_{0}^{A}dz =\frac{A^2}{2}\frac{A^3}{3}A=\frac{A^6}{6},
idem para o terceiro termo. Então
I_x =\frac{A^7}{5}+2\cdot\frac{A^6}{6} =A^6\Bigl(\frac{A}{5}+\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{A^6}{15}\bigl(3A+5\bigr).
Portanto
\bar x =\frac{I_x}{M} =\frac{\tfrac{A^6}{15}(3A+5)}{\tfrac{A^5}{12}(3A+8)} =A\,\frac{12\,(3A+5)}{15\,(3A+8)} =A\,\frac{4\,(3A+5)}{5\,(3A+8)}.

Passo 4

De modo análogo, para \bar y (e o mesmo valor aparece em \bar z por simetria entre y^2 e z^2):
I_y =\iiint_{V}y\,(x^3+y^2+z^2)\,dV =\frac{A^7}{8}+\frac{A^6}{4}+\frac{A^6}{6} =A^6\Bigl(\frac{A}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\Bigr) =\frac{A^6}{24}\bigl(3A+10\bigr),
\bar y =\frac{I_y}{M} =\frac{\tfrac{A^6}{24}(3A+10)}{\tfrac{A^5}{12}(3A+8)} =A\,\frac{12\,(3A+10)}{24\,(3A+8)} =A\,\frac{3A+10}{2\,(3A+8)}.
E \bar z=\bar y.

Resposta

Massa:
M=\frac{A^5}{12}\bigl(3A+8\bigr).
Centro de massa:
\bar x =A\,\frac{4\,(3A+5)}{5\,(3A+8)}, \quad \bar y=\bar z =A\,\frac{3A+10}{2\,(3A+8)}.

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