\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+10}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}+2x+10}
O conteúdo é integração de função racional com denominador quadrático irreduzível. Vamos usar completar o quadrado e a fórmula
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\bigl(\frac{u}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+10 = (x^{2}+2x+1)+9 = (x+1)^{2}+3^{2}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = x+1 \quad\Longrightarrow\quad du = dx.
Então a integral vira
\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+3^{2}} = \int \frac{du}{u^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula padrão para a integral de 1/(u^{2}+a^{2}) com a=3:
\int \frac{du}{u^{2}+3^{2}} = \frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\frac{u}{3}\bigr)+C.
Voltando à variável x, temos u=x+1.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}+2x+10} = \frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{3}\Bigr)+C.

Exercícios relacionados