Calcule
A massa do cilindro x^{2}+y^{2} \leq 4 e 0 \leq z \leq 2, sabendo que a densidade no ponto ( x, y, z ) é o dobro da distância do ponto ao plano z=0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa do sólido cilíndrico dado por x^{2}+y^{2}\le 4 e 0\le z\le 2, sabendo que a densidade no ponto (x,y,z) é o dobro da distância desse ponto ao plano z=0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Densidade: } \rho(x,y,z)=2\times(\text{distância ao plano } z=0).
Como para todo ponto na região temos z\ge 0, a distância ao plano z=0 é simplesmente z. Portanto a densidade fica \rho(x,y,z)=2z. A massa procurada é a integral tripla da densidade sobre o volume:
Escolhemos coordenadas cilíndricas porque a região é um cilindro circular centrado no eixo z: isso torna os limites simples e aproveita a simetria. As coordenadas cilíndricas são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z é o próprio eixo vertical. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do r: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados dr e r\,d\theta (já que o arco correspondente tem comprimento r\,d\theta), então a área é r\,dr\,d\theta; ao multiplicar por dz obtemos o volume.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas a densidade fica, como já identificamos,
\rho(r,\theta,z)=2z,
pois a distância ao plano z=0 é z. Note que \rho não depende de r nem de \theta.
Passo 4
Agora escrevemos a integral tripla com os limites apropriados. Da região x^{2}+y^{2}\le 4 obtemos 0\le r\le 2. Para \theta temos 0\le\theta\le 2\pi. Para z temos 0\le z\le 2. Então
Interpretação e checagem rápida: resultado positivo e proporcional à área da base (\pi\cdot 2^{2}=4\pi) vezes a média da densidade ao longo de z. Tudo consistente. Respira fundo — chegamos ao valor final.