Calcule
A massa do cubo 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 e 0 \leq z \leq 1, cuja densidade no ponto ( x, y, z ) é a soma das coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá um cubo com limites
0 \leq x \leq 1,\quad 0 \leq y \leq 1,\quad 0 \leq z \leq 1
e a densidade no ponto (x,y,z) é a soma das coordenadas, ou seja
\rho(x,y,z)=x+y+z.
O que se pede: calcular a massa do cubo, isto é, a massa total obtida integrando a densidade em todo o volume do cubo.

Passo 2

Conceito usado (aula rápida): a massa M de um corpo com densidade \rho(x,y,z) num domínio V é dada pelo integral triplo
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume (numa coordenada cartesiana dV = dx\,dy\,dz). A propriedade importante que vamos usar é a linearidade do integral: para quaisquer funções f,g,
\iiint_V (f+g)\,dV = \iiint_V f\,dV + \iiint_V g\,dV.
Isto nos permite separar a integral de x+y+z em três integrais mais simples.

Passo 3

Montando o integral iterado no cubo (limites de 0 a 1 em cada variável), temos
M=\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} (x+y+z)\,dx\,dy\,dz.
Escolhi integrar primeiro em x, depois em y e por fim em z — qualquer ordem funciona aqui porque os limites são constantes.

Passo 4

Integramos em x primeiro. Para integrar (x+y+z) em relação a x tratamos y e z como constantes. Antiderivadas úteis: \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2} e \int c\,dx = c x se c é constante em relação a x. Assim
\int_{x=0}^{1} (x+y+z)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2} + yx + zx\right]_{0}^{1}.
Substituindo os limites 0 e 1,
\left.\frac{x^{2}}{2} + yx + zx\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} + y\cdot 1 + z\cdot 1 - 0 = \frac{1}{2} + y + z.

Passo 5

Agora integramos o resultado em y:
\int_{y=0}^{1}\left(\frac{1}{2}+y+z\right)\,dy.
Novamente z é constante ao integrar em y. Antiderivadas: \int \frac{1}{2}\,dy = \frac{1}{2}y, \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}, \int z\,dy = zy. Portanto
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}+y+z\right)\,dy = \left[\frac{1}{2}y + \frac{y^{2}}{2} + zy\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + z = 1 + z.

Passo 6

Finalmente integramos em z:
\int_{z=0}^{1} (1+z)\,dz.
Antiderivadas: \int 1\,dz = z, \int z\,dz = \tfrac{z^{2}}{2}. Assim
\int_{0}^{1} (1+z)\,dz = \left[z + \frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 7

Comentário alternativo (atalho elegante): por simetria do cubo temos
\iiint_{V} x\,dV = \iiint_{V} y\,dV = \iiint_{V} z\,dV,
e portanto
M=\iiint_{V}(x+y+z)\,dV = 3\iiint_{V} x\,dV.
Mas \iiint_{V} x\,dV = \left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} dy\right)\left(\int_{0}^{1} dz\right) = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}. Logo M=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, que é o mesmo resultado obtido passo a passo acima.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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