Calcule
A massa do cubo 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 e 0 \leq z \leq 1, cuja densidade no ponto ( x, y, z ) é a soma das coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá um cubo com limites
0 \leq x \leq 1,\quad 0 \leq y \leq 1,\quad 0 \leq z \leq 1
e a densidade no ponto (x,y,z) é a soma das coordenadas, ou seja
\rho(x,y,z)=x+y+z.
O que se pede: calcular a massa do cubo, isto é, a massa total obtida integrando a densidade em todo o volume do cubo.
Passo 2
Conceito usado (aula rápida): a massa M de um corpo com densidade \rho(x,y,z) num domínio V é dada pelo integral triplo
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume (numa coordenada cartesiana dV = dx\,dy\,dz). A propriedade importante que vamos usar é a linearidade do integral: para quaisquer funções f,g,
Escolhi integrar primeiro em x, depois em y e por fim em z — qualquer ordem funciona aqui porque os limites são constantes.
Passo 4
Integramos em x primeiro. Para integrar (x+y+z) em relação a x tratamos y e z como constantes. Antiderivadas úteis: \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2} e \int c\,dx = c x se c é constante em relação a x. Assim
Mas \iiint_{V} x\,dV = \left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} dy\right)\left(\int_{0}^{1} dz\right) = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}. Logo M=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, que é o mesmo resultado obtido passo a passo acima.