Calcule a massa da região R limitada por:
z\left(x^{2}+y^{2}\right)=2, z=0, x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2, com x \geq 0 e y \leq 0 e \delta(x, y, z)=1

Passo 1

O enunciado pede a massa da região R limitada pelas superfícies \,z(x^{2}+y^{2})=2, \,z=0, \,x^{2}+y^{2}=1, \,x^{2}+y^{2}=2
no quarto quadrante do plano xy (isto é, x\ge0 e y\le0), com densidade constante \delta(x,y,z)=1.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano r.
As restrições ficam
1 \le r \le \sqrt{2},\quad -\frac{\pi}{2}\le \theta \le 0,\quad 0 \le z \le \frac{2}{r^{2}}.

Passo 3

Escrevemos a integral tripla da massa:
m = \iiint_{R}1\,dV = \int_{\theta=-\pi/2}^{0}\int_{r=1}^{\sqrt{2}}\int_{z=0}^{2/r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{2/r^{2}}r\,dz = r\cdot\frac{2}{r^{2}} = \frac{2}{r}.

Passo 4

A integral em r torna-se
\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{2}{r}\,dr = 2\bigl[\ln r\bigr]_{1}^{\sqrt{2}} = 2\bigl(\tfrac12\ln2 - 0\bigr) = \ln2.

Passo 5

Por fim, integramos em \theta:
m = \int_{-\pi/2}^{0}\ln2\,d\theta = \ln2\bigl[\,\theta\,\bigr]_{-\pi/2}^{0} = \ln2\cdot\frac{\pi}{2}.

Resposta

m = \frac{\pi}{2}\,\ln2.

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