Calcule:
Calcule a massa da região acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z, a>0 \operatorname{com} \delta(x, y, z)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a massa da região
acima do cone \displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}
e dentro da esfera \displaystyle x^2+y^2+z^2=2a z, com densidade \displaystyle \delta(x,y,z)=x^2+y^2.
O método mais eficiente é usar coordenadas esféricas, onde \displaystyle x=r\sin\varphi\cos\theta, \displaystyle y=r\sin\varphi\sin\theta, \displaystyle z=r\cos\varphi.

Passo 2

Em esféricas temos \displaystyle \delta=x^2+y^2=r^2\sin^2\varphi
e o elemento de volume \displaystyle dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
O cone z=\sqrt{x^2+y^2} vira \varphi=\pi/4 e “acima” do cone significa 0\le\varphi\le\pi/4.
A esfera r^2=2a\,r\cos\varphi r=2a\cos\varphi.
Logo a massa é
M=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{2a\cos\varphi} \bigl(r^2\sin^2\varphi\bigr)\,\bigl(r^2\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Reunindo potências de r e constantes,
M =\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\pi/4}\sin^3\varphi\,d\varphi \int_{0}^{2a\cos\varphi}r^4\,dr.
A parte em r é
\int_{0}^{2a\cos\varphi}r^4\,dr =\Bigl[\tfrac{r^5}{5}\Bigr]_{0}^{2a\cos\varphi} =\frac{(2a\cos\varphi)^5}{5} =\frac{32\,a^5\cos^5\varphi}{5}.

Passo 4

Substituindo em M e integrando em \theta, obtemos
M =2\pi\;\frac{32\,a^5}{5} \int_{0}^{\pi/4}\sin^3\varphi\,\cos^5\varphi\,d\varphi.
Para calcular \displaystyle I=\int_{0}^{\pi/4}\sin^3\varphi\,\cos^5\varphi\,d\varphi,
use u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi e \sin^2\varphi=1-u^2.
Isso dá
I =\int_{1/\sqrt2}^{1}(u^5-u^7)\,du =\Bigl[\tfrac{u^6}{6}-\tfrac{u^8}{8}\Bigr]_{1/\sqrt2}^{1} =\frac{11}{384}.

Passo 5

Substituindo I em M:
M =2\pi\;\frac{32\,a^5}{5}\;\frac{11}{384} =\frac{11\pi\,a^5}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{11\pi\,a^5}{30}

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