Calcule n \in \mathbb{N} nas expressões abaixo:
\frac{1+2+3+4+\ldots+\mathrm{n}}{(\mathrm{n}+1)!}=\frac{1}{240}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n\in\mathbb{N} tal que
\frac{1+2+3+\cdots+n}{(n+1)!}=\frac{1}{240}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da soma dos primeiros n naturais e propriedades de fatorial.

Passo 2

A soma dos primeiros n naturais é dada por
1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.

Passo 3

Substituindo na expressão original, temos
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{(n+1)!} =\frac{n(n+1)}{2\,(n+1)!}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, isso simplifica para
\frac{n(n+1)}{2\,(n+1)\,n!} =\frac{n}{2\,n!}.

Passo 4

Agora impomos a igualdade ao valor dado:
\frac{n}{2\,n!}=\frac{1}{240}.
Multiplicando em cruz,
240\,n = 2\,n! \quad\Longrightarrow\quad 120\,n = n!.
Para n\ge1 podemos dividir ambos os lados por n:
120 = (n-1)!.

Passo 5

Devemos achar m tal que m! = 120. Como 5! = 120, segue n-1 = 5 e portanto
n = 6.

Resposta

6

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