(PUC-RJ) \operatorname{Se} \frac{n!}{(n+2)!+(n+1)!}=\frac{1}{48}, então:
a) n=2
b) n=5
c) n=7
d) n=10
e) n=12

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{n!}{(n+2)! + (n+1)!} = \frac{1}{48}
e pede o valor de n. O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e resolução de uma equação algébrica resultante.

Passo 2

Usamos a propriedade (n+k)!= (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)\,n!. Em particular,
(n+2)! = (n+2)(n+1)n!,
(n+1)! = (n+1)n!.
Logo o denominador fica
(n+2)! + (n+1)! = n!\bigl[(n+2)(n+1) + (n+1)\bigr] = n!(n+1)[(n+2)+1] = n!(n+1)(n+3).

Passo 3

Substituindo na fração, obtemos
\frac{n!}{n!(n+1)(n+3)} = \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{48}.
Portanto
(n+1)(n+3) = 48.

Passo 4

Expandindo e organizando, achamos
n^2 + 4n + 3 - 48 = 0 \quad\Longrightarrow\quad n^2 + 4n - 45 = 0.
A fórmula de Bhaskara dá
n = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot(-45)}}{2} = \frac{-4 \pm 14}{2},
ou seja, n = 5 ou n = -9. Como n deve ser inteiro não negativo, temos n = 5.

Resposta

n = 5

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