Calcule n \in \mathbb{N} nas expressões abaixo:
\frac{\mathrm{n}!+(\mathrm{n}-1)!}{(\mathrm{n}+1)!}=\frac{1}{6}

Passo 1

O enunciado pede para determinar n\in\mathbb{N} tal que
\frac{n! + (n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{6}.
Aqui vamos usar a definição de fatorial ( n! = n\cdot(n-1)!) e simplificação de frações.

Passo 2

Fatorando (n-1)! no numerador, temos
n! + (n-1)! = n\cdot(n-1)! + (n-1)! = (n-1)!\,(n + 1).

Passo 3

Escrevendo o denominador e cancelando fatores comuns:
(n+1)! = (n+1)\,n\,(n-1)!\quad\Longrightarrow\quad \frac{n! + (n-1)!}{(n+1)!} = \frac{(n-1)!\,(n+1)}{(n+1)\,n\,(n-1)!} = \frac{1}{n}.

Passo 4

Igualando ao valor dado, obtém-se
\frac{1}{n} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad n = 6.

Resposta

n = 6

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