Calcule n \in \mathbb{N} nas expressões abaixo:
\frac{\mathrm{n}!+(\mathrm{n}-1)!}{(\mathrm{n}+1)!-\mathrm{n}!}=\frac{6}{25}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n\in\mathbb{N} tal que
\displaystyle \frac{n! + (n-1)!}{(n+1)! - n!} = \frac{6}{25}.
O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e resolução algébrica de uma equação em n.

Passo 2

Começamos fatorando os fatoriais no numerador e no denominador.
O numerador é
n! + (n-1)! = (n-1)!\bigl(n + 1\bigr),
e o denominador é
(n+1)! - n! = n!\bigl((n+1) - 1\bigr) = n!\,n.
Assim, a expressão original se simplifica para
\frac{n! + (n-1)!}{(n+1)! - n!} = \frac{(n-1)!\,(n+1)}{n!\,n} = \frac{n+1}{n^2}.

Passo 3

Igualando ao valor dado, temos
\frac{n+1}{n^2} \;=\; \frac{6}{25}.
Multiplicando ambos os lados por 25n^2, obtém-se
25(n+1) = 6\,n^2.

Passo 4

Reescrevendo em forma de equação quadrática:
6n^2 - 25n - 25 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-25)^2 - 4\cdot6\cdot(-25) = 625 + 600 = 1225 = 35^2.
Logo as raízes são
n = \frac{25 \pm 35}{12}.
A única solução natural é
n = \frac{25 + 35}{12} = \frac{60}{12} = 5.

Resposta

5

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