Calcule \mathbf{B} (utilize componentes retangulares) no ponto \mathrm{P}(3 ; 2 ; 5), devido ao campo magnético gerado por dois filamentos infinitos de corrente, de intensidade 12 A . Um dos filamentos está paralelo ao eixo x , passando pelo ponto ( -2 ;-4 ; 3 ) e nele a corrente flui na direção -\hat{a}_{x}. O outro filamento está localizado no eixo y e nele a corrente flui na direção +\hat{a}_{y}. Coordenadas em metros.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se o campo magnético \mathbf{B} no ponto P(3;2;5) em componentes retangulares, devido a dois filamentos infinitos, cada um com corrente 12\\ \mathrm{A}.
  • Filamento 1:
    • É paralelo ao eixo x.
    • Passa pelo ponto (-2,-4,3).
    • A corrente flui na direção -\hat{a}_x.
  • Filamento 2:
    • Está localizado no eixo y (ou seja, é a reta (0,y,0)).
    • A corrente flui na direção +\hat{a}_y.
  • Coordenadas em metros; o ponto onde queremos \mathbf{B} é P(3,2,5).
  • Objetivo final: obter \mathbf{B}(3,2,5) expressa como B_x\hat{a}_x + B_y\hat{a}_y + B_z\hat{a}_z, com unidades de tesla.

Passo 2

Método e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para um fio reto e infinito, a contribuição do fio ao campo magnético num ponto qualquer é dada convenientemente por
\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,\bigl(\hat{u}\times\mathbf{R}\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • I é a intensidade da corrente no fio (aqui I=12\\ \mathrm{A}).
  • \hat{u} é o versor na direção do eixo do fio (sentido da corrente).
  • \mathbf{R} é o vetor que vai do eixo do fio (um ponto qualquer sobre o fio) até o ponto onde se calcula \mathbf{B}; é importante usar apenas a componente perpendicular ao eixo do fio (componentes ao longo do eixo não contribuem ao produto vetorial).
  • R=|\mathbf{R}| e R^2 é o quadrado dessa distância perpendicular.
  • A direção do campo sai do produto vetorial \hat{u}\times\mathbf{R}; fisicamente isso é o que a regra da mão direita fornece.
Vamos aplicar essa fórmula separadamente a cada fio e somar vetorialmente as contribuições (princípio da superposição).

Passo 3

Cálculo da contribuição do filamento 1 (fio paralelo a x, passando por (-2,-4,3), corrente em -\hat{a}_x):
  1. Escolho um ponto no eixo do fio: \mathbf{r}_{0,1}=(-2,-4,3). O ponto P é \mathbf{r}_P=(3,2,5). Então
\mathbf{R}_1=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_{0,1}=(3-(-2),\,2-(-4),\,5-3)=(5,6,2).
Como o fio está ao longo de x, só importam as componentes perpendiculares (componentes em y e z); podemos tomar
\mathbf{R}_{1,\perp}=(0,6,2).
  1. Comprimento perpendicular ao fio:
R_1^2=6^2+2^2=36+4=40.
  1. Versor da corrente: \hat{u}_1=-\hat{a}_x.
  2. Produto vetorial (faça sempre por partes usando \hat{a}_x\times\hat{a}_y=\hat{a}_z, \hat{a}_x\times\hat{a}_z=-\hat{a}_y, etc.):
\hat{u}_1\times\mathbf{R}_{1,\perp} = -\hat{a}_x\times(0\hat{a}_x+6\hat{a}_y+2\hat{a}_z) = -\bigl(6\hat{a}_z-2\hat{a}_y\bigr) =2\hat{a}_y-6\hat{a}_z.
  1. Agora a expressão para \mathbf{B}_1:
\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0 I}{2\pi R_1^2}\,(\hat{u}_1\times\mathbf{R}_{1,\perp}) =\frac{\mu_0 I}{2\pi\cdot 40}\,(2\hat{a}_y-6\hat{a}_z).
Factorizando 2 no numerador do vetor:
\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0 I}{40\pi}\,(\hat{a}_y-3\hat{a}_z).
  1. Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} e I=12\\ \mathrm{A}:
\frac{\mu_0 I}{40\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 12}{40\pi}=\frac{48}{40}\times10^{-7}=1{,}2\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Portanto
\mathbf{B}_1=(1{,}20\times10^{-7})\,\hat{a}_y+(-3{,}60\times10^{-7})\,\hat{a}_z\quad(\mathrm{T}),
ou em componentes:
B_{1x}=0,\qquad B_{1y}=1{,}20\times10^{-7}\\ \mathrm{T},\qquad B_{1z}=-3{,}60\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Cálculo da contribuição do filamento 2 (fio no eixo y, corrente em +\hat{a}_y):
  1. Um ponto sobre o eixo y é \mathbf{r}_{0,2}=(0,0,0). Então
\mathbf{R}_2=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_{0,2}=(3,2,5).
Como o fio está ao longo de y, a componente perpendicular é nas direções x e z:
\mathbf{R}_{2,\perp}=(3,0,5).
  1. Comprimento perpendicular:
R_2^2=3^2+5^2=9+25=34.
  1. Versor da corrente: \hat{u}_2=+\hat{a}_y.
  2. Produto vetorial:
\hat{u}_2\times\mathbf{R}_{2,\perp} =\hat{a}_y\times(3\hat{a}_x+0\hat{a}_y+5\hat{a}_z) =3(\hat{a}_y\times\hat{a}_x)+5(\hat{a}_y\times\hat{a}_z).
Usando \hat{a}_y\times\hat{a}_x=-\hat{a}_z e \hat{a}_y\times\hat{a}_z=\hat{a}_x, vem
\hat{u}_2\times\mathbf{R}_{2,\perp}=3(-\hat{a}_z)+5\hat{a}_x=5\hat{a}_x-3\hat{a}_z.
  1. Expressão para \mathbf{B}_2:
\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0 I}{2\pi R_2^2}\,(5\hat{a}_x-3\hat{a}_z) =\frac{\mu_0 I}{68\pi}\,(5\hat{a}_x-3\hat{a}_z).
  1. Substituindo valores numéricos:
\frac{\mu_0 I}{68\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 12}{68\pi}=\frac{48}{68}\times10^{-7}=\frac{12}{17}\times10^{-7}\approx0{,}705882\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Multiplicando nas componentes:
B_{2x}=5\cdot0{,}705882\times10^{-7}=3{,}52941\times10^{-7}\\ \mathrm{T},
B_{2y}=0,
B_{2z}=-3\cdot0{,}705882\times10^{-7}=-2{,}11765\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Superposição (soma vetorial) das contribuições:
Some componente a componente:
B_x = B_{1x}+B_{2x}=0 + 3{,}52941\times10^{-7}=3{,}52941\times10^{-7}\\ \mathrm{T},
B_y = B_{1y}+B_{2y}=1{,}20\times10^{-7} + 0 = 1{,}20\times10^{-7}\\ \mathrm{T},
B_z = B_{1z}+B_{2z}=-3{,}60\times10^{-7} + (-2{,}11765\times10^{-7}) = -5{,}71765\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
B_x \approx 3{,}53\times10^{-7}\\ \mathrm{T},\qquad B_y \approx 1{,}20\times10^{-7}\\ \mathrm{T},\qquad B_z \approx -5{,}72\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

\mathbf{B}(3;2;5)=3{,}53\times10^{-7}\,\hat{a}_x+1{,}20\times10^{-7}\,\hat{a}_y-5{,}72\times10^{-7}\,\hat{a}_z\\ \mathrm{T}

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