Um filamento, infinitamente longo e reto, conduz uma corrente de (
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. Em sua vizinhança, está localizada uma espira circular de 70 mm de diâmetro. O centro da espira encontra-se a
de distância do filamento. Ambos o filamento e a espira são coplanares. As correntes no filamento e na espira são tais que produzem campos opostos um em relação ao outro. Para que valor de corrente na espira ter-se-á um valor de campo B nulo no centro da mesma?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dados extraídos do enunciado:
- A corrente no filamento (reta infinita) é ). O enunciado tem essa forma com um “+1”; vou interpretar isto como indicação de incerteza e, para ficar explícito, vou usar o valor nominal ) e também mostrar como a resposta muda se a corrente for ).
- A espira é circular com diâmetro
). Portanto o raio da espira é
- O centro da espira está a uma distância ) do filamento.
- As correntes no filamento e na espira produzem campos magnéticos opostos no centro da espira (ou seja, as direções dos vetores
no ponto central são opostas).
- O que o problema pede:
- Determinar o valor da corrente na espira
) para que o campo magnético total
no centro da espira seja nulo (módulos iguais e direções opostas).
- Determinar o valor da corrente na espira
) para que o campo magnético total
Passo 2
Relembrando as fórmulas do campo magnético que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
-
Campo magnético produzido por um fio reto e infinitamente longo, a uma distância ) do fio (Lei de Ampère):Explicando os símbolos:
- ) é a permeabilidade do vácuo: ).
- ) é a corrente no fio.
-
) é a distância perpendicular entre o fio e o ponto onde se calcula
.
Essa fórmula vem de aplicar a Lei de Ampère ao campo circular ao redor de um fio longo: o campo tem simetria circular e módulo constante em um círculo centrado no fio.
-
Campo magnético no centro de uma espira circular única de raio ):Explicando:
- ) é a corrente que circula na espira.
- Essa fórmula resulta de integrar o contributo de todos os elementos de corrente da espira; o campo no centro é axial e vale
.
Observação geométrica do problema:
- O ponto onde queremos o campo nulo é o centro da espira.
- A distância do filamento ao centro da espira é
). Assim usaremos essa
na fórmula do fio. - A espira gera seu próprio campo no centro com raio
.
Passo 3
Condição para campo total nulo no centro:
- Como os campos são opostos em direção, a condição de nulidade é que os módulos sejam iguais:
Substituindo as fórmulas:
Podemos simplificar
dos dois lados (ele não é zero), ficando:
Isolando
:
Essa é a expressão geral: a corrente da espira deve ser proporcional à corrente do fio pelo fator
).
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente. Primeiro calculemos o fator geométrico
).
- Valores:
- Calcular
: Vamos fazer a conta passo a passo sem usar calculadora avançada (apenas aritmética básica):
Ou seja,
Agora multiplicamos pelo valor da corrente no fio.
- Se usarmos o valor nominal
):
Passo 5
Tratar a ambiguidade do enunciado (o “+1”): se a intenção fosse
), então o valor de
varia na mesma proporção (pois a relação é linear). Calculando os extremos:
- Para
):
- Para
):
Portanto, com
o valor requerido para anular o campo no centro é aproximadamente
, e se a corrente do fio for
a corrente da espira ficará aproximadamente entre
e
.
Resposta
Se