Um filamento, infinitamente longo e reto, conduz uma corrente de ( 20+ 1 ) \mathrm{mA}. Em sua vizinhança, está localizada uma espira circular de 70 mm de diâmetro. O centro da espira encontra-se a 0,25 \mathrm{~m} de distância do filamento. Ambos o filamento e a espira são coplanares. As correntes no filamento e na espira são tais que produzem campos opostos um em relação ao outro. Para que valor de corrente na espira ter-se-á um valor de campo B nulo no centro da mesma?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • A corrente no filamento (reta infinita) é \(I_f = (20+1)\\ \mathrm{mA}). O enunciado tem essa forma com um “+1”; vou interpretar isto como indicação de incerteza e, para ficar explícito, vou usar o valor nominal \(I_f=20\\ \mathrm{mA}) e também mostrar como a resposta muda se a corrente for \(20\pm1\\ \mathrm{mA}).
    • A espira é circular com diâmetro \(70\\ \mathrm{mm}). Portanto o raio da espira é R = \frac{70\\ \mathrm{mm}}{2} = 35\\ \mathrm{mm} = 0,035\\ \mathrm{m}.
    • O centro da espira está a uma distância \(d=0{,}25\\ \mathrm{m}) do filamento.
    • As correntes no filamento e na espira produzem campos magnéticos opostos no centro da espira (ou seja, as direções dos vetores \vec{B} no ponto central são opostas).
  • O que o problema pede:
    • Determinar o valor da corrente na espira \(I_{\text{espira}}) para que o campo magnético total \vec{B} no centro da espira seja nulo (módulos iguais e direções opostas).

Passo 2

Relembrando as fórmulas do campo magnético que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
  • Campo magnético produzido por um fio reto e infinitamente longo, a uma distância \(r) do fio (Lei de Ampère):
    B_{\text{fio}} = \frac{\mu_0 I_f}{2\pi r}.
    Explicando os símbolos:
    • \(\mu_0) é a permeabilidade do vácuo: \(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}).
    • \(I_f) é a corrente no fio.
    • \(r) é a distância perpendicular entre o fio e o ponto onde se calcula \vec{B}.
      Essa fórmula vem de aplicar a Lei de Ampère ao campo circular ao redor de um fio longo: o campo tem simetria circular e módulo constante em um círculo centrado no fio.
  • Campo magnético no centro de uma espira circular única de raio \(R):
    B_{\text{espira}} = \frac{\mu_0 I_{\text{espira}}}{2R}.
    Explicando:
    • \(I_{\text{espira}}) é a corrente que circula na espira.
    • Essa fórmula resulta de integrar o contributo de todos os elementos de corrente da espira; o campo no centro é axial e vale \mu_0 I/(2R).
Observação geométrica do problema:
  • O ponto onde queremos o campo nulo é o centro da espira.
  • A distância do filamento ao centro da espira é \(r=d=0{,}25\\ \mathrm{m}). Assim usaremos essa r na fórmula do fio.
  • A espira gera seu próprio campo no centro com raio R=0{,}035\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Condição para campo total nulo no centro:
  • Como os campos são opostos em direção, a condição de nulidade é que os módulos sejam iguais: B_{\text{fio}} = B_{\text{espira}}.
Substituindo as fórmulas:
\frac{\mu_0 I_f}{2\pi d} = \frac{\mu_0 I_{\text{espira}}}{2R}.
Podemos simplificar \mu_0 dos dois lados (ele não é zero), ficando:
\frac{I_f}{2\pi d} = \frac{I_{\text{espira}}}{2R}.
Isolando I_{\text{espira}}:
I_{\text{espira}} = \frac{2R}{2\pi d}\,I_f = \frac{R}{\pi d}\,I_f.
Essa é a expressão geral: a corrente da espira deve ser proporcional à corrente do fio pelo fator \(R/(\pi d)).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente. Primeiro calculemos o fator geométrico \(R/(\pi d)).
  • Valores: R = 0{,}035\\ \mathrm{m},\qquad d = 0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \displaystyle \frac{R}{\pi d}: \frac{R}{\pi d} = \frac{0{,}035}{\pi\times 0{,}25}.Vamos fazer a conta passo a passo sem usar calculadora avançada (apenas aritmética básica): \pi\times 0{,}25 \approx 3{,}1416\times 0{,}25 = 0{,}7854.
\frac{0{,}035}{0{,}7854}\approx 0{,}0446\\ \text{(aprox.)}.
Ou seja,
\frac{R}{\pi d}\approx 0{,}0446.
Agora multiplicamos pelo valor da corrente no fio.
  • Se usarmos o valor nominal \(I_f=20\\ \mathrm{mA}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{A}): I_{\text{espira}} \approx 0{,}0446\times 20\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
I_{\text{espira}} \approx 0{,}892\times10^{-3}\\ \mathrm{A} = 0{,}892\\ \mathrm{mA}.

Passo 5

Tratar a ambiguidade do enunciado (o “+1”): se a intenção fosse \(I_f=20\pm1\\ \mathrm{mA}), então o valor de I_{\text{espira}} varia na mesma proporção (pois a relação é linear). Calculando os extremos:
  • Para \(I_f=19\\ \mathrm{mA}): I_{\text{espira}}\approx 0{,}0446\times 19\\ \mathrm{mA}\approx 0{,}848\\ \mathrm{mA}.
  • Para \(I_f=21\\ \mathrm{mA}): I_{\text{espira}}\approx 0{,}0446\times 21\\ \mathrm{mA}\approx 0{,}937\\ \mathrm{mA}.
Portanto, com I_f=20\\ \mathrm{mA} o valor requerido para anular o campo no centro é aproximadamente 0{,}892\\ \mathrm{mA}, e se a corrente do fio for 20\pm1\\ \mathrm{mA} a corrente da espira ficará aproximadamente entre 0{,}848\\ \mathrm{mA} e 0{,}937\\ \mathrm{mA}.

Resposta

I_{\text{espira}}\approx 0{,}892\\ \mathrm{mA} (para I_f=20\\ \mathrm{mA}).
Se I_f=20\pm1\\ \mathrm{mA}, então I_{\text{espira}}\approx 0{,}0446\,I_f, isto é I_{\text{espira}} entre \(0{,}848\\ \mathrm{mA}) e \(0{,}937\\ \mathrm{mA}).

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