Uma espira circular, de ( \mathbf{1} / 2 ) cm de raio, encontra-se sobre o plano xy e transporta uma corrente contínua igual a (5+1) A, no sentido horário. Determine os vetores campo magnético \mathbf{H} e densidade de fluxo magnético B no eixo desta espira, para uma altura igual a 1,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede os vetores campo magnético \mathbf{H} e densidade de fluxo magnético \mathbf{B} no eixo da espira a uma altura dada.
  • Raio da espira: \dfrac{1}{2}\\ \text{cm}.
  • Corrente na espira: (5+1)\\ \text{A}.
  • Sentido da corrente: sentido horário (quando vista do eixo positivo z, i.e. olhando de cima).
  • A altura (distância ao longo do eixo) onde queremos o campo: 1,5\\ \text{cm}.
Perguntas explícitas:
  • Determinar o vetor \mathbf{H} no eixo da espira a 1,5\\ \text{cm}.
  • Determinar o vetor \mathbf{B} no mesmo ponto.
Observação imediata dos dados (peguei estes números do enunciado):
  • Raio: a=\dfrac{1}{2}\\ \text{cm}.
  • Corrente: I=5+1\\ \text{A}.
  • Posição no eixo: z=1,5\\ \text{cm}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática e derivação rápida):
Para uma espira circular de raio a, centrada na origem e contida no plano xy, o campo magnético no eixo ( z-axis), a uma distância z do centro, tem direção ao longo do eixo e módulo dado pela expressão obtida a partir da Lei de Biot–Savart e simetria:
B_z = \dfrac{\mu_0 I a^2}{2\,(a^2+z^2)^{3/2}}.
Breve explicação de onde vem essa fórmula (passo a passo conceitual, sem pular etapas importantes):
  • A Lei de Biot–Savart diz que o campo infinitesimal produzido por um elemento de corrente I\,d\boldsymbol{\ell} é d\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\,\dfrac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2},onde \mathbf{r} é o vetor do elemento até o ponto onde se calcula \mathbf{B} e \hat{\mathbf{r}} é sua direção unitária.
  • No eixo da espira, para cada elemento d\boldsymbol{\ell} há um elemento oposto que produz uma componente radial que se cancela por simetria; só sobra a componente axial (paralela a \hat{\mathbf{z}}).
  • A magnitude da contribuição axial de cada elemento é \dfrac{\mu_0 I\,dl}{4\pi r^2}\sin\theta\cos\varphi, mas por simetria a soma angular reduz-se a multiplicar por 2\pi a (circunferência) e usar \sin\theta = \dfrac{a}{r}, onde r=\sqrt{a^2+z^2}.
  • Realizando a integral aparece a fórmula acima. É a fórmula padrão para o campo no eixo de uma espira circular.
O campo \mathbf{H} no vácuo está relacionado com \mathbf{B} por
\mathbf{B}=\mu_0\,\mathbf{H},
ou seja
H_z=\dfrac{B_z}{\mu_0}=\dfrac{I a^2}{2\,(a^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 3

Convertemos unidades e substituímos os dados numéricos (tudo foi pego do enunciado):
  • a=\dfrac{1}{2}\\ \text{cm}=0,5\\ \text{cm}=0,005\\ \text{m}.
  • z=1,5\\ \text{cm}=0,015\\ \text{m}.
  • I=5+1=6\\ \text{A}.
  • Permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}\approx1,256637061\times10^{-6}\\ \text{H/m}.
Calculemos a^2, z^2 e a^2+z^2:
a^2=(0,005)^2=2,5\times10^{-5}\\ \text{m}^2,
z^2=(0,015)^2=2,25\times10^{-4}\\ \text{m}^2,
a^2+z^2=2,5\times10^{-5}+2,25\times10^{-4}=2,5\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
Agora calculemos (a^2+z^2)^{3/2}. Uma maneira segura é primeiro tirar a raiz quadrada e depois elevar ao cubo:
\sqrt{a^2+z^2}=\sqrt{2,5\times10^{-4}}=1,58113883\times10^{-2}\\ \text{m},
(a^2+z^2)^{3/2}=(2,5\times10^{-4})^{3/2}=2,5\times10^{-4}\times1,58113883\times10^{-2}=3,952847075\times10^{-6}\\ \text{m}^3.

Passo 4

Calculemos agora o módulo de \mathbf{H} usando a fórmula direta (mais simples pois não precisa de \mu_0):
H_z=\dfrac{I a^2}{2\,(a^2+z^2)^{3/2}}.
Substituindo:
H_z=\dfrac{6\times2,5\times10^{-5}}{2\times3,952847075\times10^{-6}} =\dfrac{1,5\times10^{-4}}{7,90569415\times10^{-6}}.
Fazendo a divisão:
H_z\approx19,0\\ \text{A/m}.
Agora obtemos \mathbf{B} por \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}:
B_z=\mu_0 H_z \approx(1,256637061\times10^{-6})\times19,0\approx2,387\times10^{-5}\\ \text{T}.

Passo 5

Determinação do sentido (importante!): o enunciado diz que a corrente é no sentido horário. Aplicando a regra da mão direita para uma espira: se a corrente for no sentido anti-horário vista do lado positivo de z (de cima) o campo no eixo aponta para +\hat{\mathbf{z}}; se a corrente for horário, o campo aponta para -\hat{\mathbf{z}}.
O enunciado deu sentido horário, então os vetores apontam no sentido negativo de z (para baixo). Portanto devemos colocar sinal negativo nas componentes z.

Passo 6

Escrevendo os vetores finais com notação vetorial (unidade \hat{\mathbf{z}} para o eixo z):
  • Campo \mathbf{H}:
\mathbf{H}=-19,0\,\hat{\mathbf{z}}\\ \text{A/m}\quad(\text{aproximadamente}).
  • Densidade de fluxo magnético \mathbf{B}:
\mathbf{B}=-2,387\times10^{-5}\,\hat{\mathbf{z}}\\ \text{T}\quad(\text{aproximadamente}).

Resposta

\mathbf{H}=-19,0\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}\n
\mathbf{B}=-2,387\times10^{-5}\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{T}

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