Uma espira circular, de (
) cm de raio, encontra-se sobre o plano xy e transporta uma corrente contínua igual a
A, no sentido horário. Determine os vetores campo magnético
e densidade de fluxo magnético B no eixo desta espira, para uma altura igual a
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede os vetores campo magnético
e densidade de fluxo magnético
no eixo da espira a uma altura dada.
- Raio da espira:
. - Corrente na espira:
. - Sentido da corrente: sentido horário (quando vista do eixo positivo
, i.e. olhando de cima). - A altura (distância ao longo do eixo) onde queremos o campo:
.
Perguntas explícitas:
- Determinar o vetor
no eixo da espira a . - Determinar o vetor
no mesmo ponto.
Observação imediata dos dados (peguei estes números do enunciado):
- Raio:
. - Corrente:
. - Posição no eixo:
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática e derivação rápida):
Para uma espira circular de raio
, centrada na origem e contida no plano
, o campo magnético no eixo (
-axis), a uma distância
do centro, tem direção ao longo do eixo e módulo dado pela expressão obtida a partir da Lei de Biot–Savart e simetria:
Breve explicação de onde vem essa fórmula (passo a passo conceitual, sem pular etapas importantes):
- A Lei de Biot–Savart diz que o campo infinitesimal produzido por um elemento de corrente
é onde é o vetor do elemento até o ponto onde se calcula e é sua direção unitária. - No eixo da espira, para cada elemento
há um elemento oposto que produz uma componente radial que se cancela por simetria; só sobra a componente axial (paralela a ). - A magnitude da contribuição axial de cada elemento é
, mas por simetria a soma angular reduz-se a multiplicar por (circunferência) e usar , onde . - Realizando a integral aparece a fórmula acima. É a fórmula padrão para o campo no eixo de uma espira circular.
O campo
no vácuo está relacionado com
por
ou seja
Passo 3
Convertemos unidades e substituímos os dados numéricos (tudo foi pego do enunciado):
-
. -
. -
. - Permeabilidade do vácuo:
.
Calculemos
,
e
:
Agora calculemos
. Uma maneira segura é primeiro tirar a raiz quadrada e depois elevar ao cubo:
Passo 4
Calculemos agora o módulo de
usando a fórmula direta (mais simples pois não precisa de
):
Substituindo:
Fazendo a divisão:
Agora obtemos
por
:
Passo 5
Determinação do sentido (importante!): o enunciado diz que a corrente é no sentido horário. Aplicando a regra da mão direita para uma espira: se a corrente for no sentido anti-horário vista do lado positivo de
(de cima) o campo no eixo aponta para
; se a corrente for horário, o campo aponta para
.
O enunciado deu sentido horário, então os vetores apontam no sentido negativo de
(para baixo). Portanto devemos colocar sinal negativo nas componentes
.
Passo 6
Escrevendo os vetores finais com notação vetorial (unidade
para o eixo
):
- Campo
:
- Densidade de fluxo magnético
: