Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a zero da razão
. Informações dadas:
- A expressão é
. - A constante
é um número real fixo. - A variável
tende a .
A pergunta única é: calcular.
Passo 2
Fazer uma troca de variável simples para simplificar a expressão. Defina a variável auxiliar
Quando
temos também
. Em termos de
a fração fica mais simples: escrever
em função de
.
Passo 3
Reescrevendo a expressão usando
e manipulando algebricamente:
Como
segue que
. Substituindo:
Portanto
já que
é constante e pode sair do limite.
Passo 4
Agora precisamos do limite
. Use a identidade
. Então
Para obter o limite, vamos usar dois limites conhecidos:
-
. -
, logo .
Explicação do primeiro ponto (prova clássica por desigualdades): paravale a desigualdade geométrica
Essa desigualdade decorre das comparações entre áreas no círculo unitário (triângulo inscrito, setor circular e triângulo tangente). Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), como
quando
e o lado superior é
, então
. A hipótese de
perto de
pode ser feita para valores positivos e, pela paridade das funções, vale para
de ambos os lados. Assim
.
Passo 5
Com os limites do Passo 4:
Voltando ao Passo 3, temos