Calcule
(1 \mathrm{pt}) . \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (2026 \mathrm{x})}{x}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a zero da razão \dfrac{\tan(2026\,x)}{x}. Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\tan(2026\,x)}{x}.
  • A constante 2026 é um número real fixo.
  • A variável x tende a 0.
    A pergunta única é: calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(2026\,x)}{x}.

Passo 2

Fazer uma troca de variável simples para simplificar a expressão. Defina a variável auxiliar
u = 2026\,x.
Quando x \to 0 temos também u \to 0. Em termos de u a fração fica mais simples: escrever \dfrac{\tan(2026\,x)}{x} em função de u.

Passo 3

Reescrevendo a expressão usando u e manipulando algebricamente:
\frac{\tan(2026\,x)}{x} = \frac{\tan(u)}{x}.
Como u=2026\,x segue que x=\dfrac{u}{2026}. Substituindo:
\frac{\tan(u)}{x} = \frac{\tan(u)}{u/2026} = 2026\cdot\frac{\tan(u)}{u}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2026\,x)}{x} = \lim_{u\to 0} 2026\cdot\frac{\tan(u)}{u} = 2026\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\tan(u)}{u},
já que 2026 é constante e pode sair do limite.

Passo 4

Agora precisamos do limite \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\tan(u)}{u}. Use a identidade \tan(u)=\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)}. Então
\frac{\tan(u)}{u} = \frac{\sin(u)}{u}\cdot\frac{1}{\cos(u)}.
Para obter o limite, vamos usar dois limites conhecidos:
  • \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}=1.
  • \displaystyle\lim_{u\to 0}\cos(u)=1, logo \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos(u)}=1.
    Explicação do primeiro ponto (prova clássica por desigualdades): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos(u) < \frac{\sin(u)}{u} < 1.
Essa desigualdade decorre das comparações entre áreas no círculo unitário (triângulo inscrito, setor circular e triângulo tangente). Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), como \cos(u)\to 1 quando u\to 0 e o lado superior é 1, então \dfrac{\sin(u)}{u}\to 1. A hipótese de u perto de 0 pode ser feita para valores positivos e, pela paridade das funções, vale para u\to 0 de ambos os lados. Assim \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 5

Com os limites do Passo 4:
\lim_{u\to 0}\frac{\tan(u)}{u} = \left(\lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}\right)\cdot\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos(u)}\right) = 1\cdot 1 = 1.
Voltando ao Passo 3, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2026\,x)}{x} = 2026\cdot 1 = 2026.

Resposta

2026

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