- Admitindo que é necessário projetar um pistão para cair dentro de um cilindro com velocidade constante de
, entre o pistão e o cilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática igual a
e
. Sendo o diâmetro do pistão 10 cm , seu comprimento de 5 cm e o diâmetro do cilindro de
, qual deve ser a massa do pistão? Resposta:46 kg.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a massa do pistão para que ele caia com velocidade constante:
- velocidade de queda do pistão:
; - viscosidade cinemática do óleo:
; - peso específico do óleo:
(isto é, ); - diâmetro do pistão:
; - comprimento (altura) do pistão imerso:
; - diâmetro do cilindro:
.
O que se pede: determinar a massa
do pistão que faz com que ele caia com velocidade constante de
.
Passo 2
Primeiro entendimento físico (sem cálculo): para que o pistão caia com velocidade constante, a resultante das forças verticais deve ser nula. As forças em jogo são:
- peso do pistão para baixo:
; - empuxo (flutuabilidade) para cima:
, onde é o volume do pistão imerso; - força viscosa (atrito do óleo no filme entre pistão e cilindro), que aponta para cima e equilibra o excesso de peso.
Portanto a condição de equilíbrio (queda a velocidade constante) é
ou equivalentemente
onde
é a força viscosa devido ao filme de óleo.
Passo 3
Converterendo a viscosidade cinemática em viscosidade dinâmica e definindo variáveis:
- chamamos de
a aceleração da gravidade, ; - massa volúmica (densidade) do óleo:
; - viscosidade dinâmica:
.
Calculemos
e
:
Explicação didática: a viscosidade cinemática
mede a “mobilidade” do fluido (viscosidade relativa à densidade). A viscosidade dinâmica
é a grandeza que aparece na lei de Newton do atrito viscoso e é a que usamos para calcular tensões de cisalhamento:
.
Passo 4
Geometria do filme e volume do pistão:
- folga radial (meia diferença de diâmetros):
- área lateral do pistão onde atua a tensão de cisalhamento (área cilíndrica lateral):
- volume do pistão (aproximado como cilindro) que determina o empuxo:
Passo 5
Modelo para a força viscosa no filme fino:
- Para um filme muito fino entre duas superfícies (pistão deslizando com velocidade
relativa à parede), o perfil de velocidade é aproximadamente linear (fluxo do tipo Couette), logo a taxa de deformação (gradiente de velocidade) é . - A tensão de cisalhamento na parede é
. - A força viscosa total é
.
Agora calculamos numericamente:
Breve reforço didático: a tensão
tem dimensão de força por área (N/m^2). Multiplicando por
obtemos força (N). A expressão
vem direto da lei de Newton para um escoamento simples com gradiente constante.
Passo 6
Calcular o empuxo
e aplicar o equilíbrio de forças:
Como vimos no Passo 2, da condição
segue
Substituindo os valores numéricos:
Passo 7
Arredondamento e interpretação final: com os dados fornecidos, a massa do pistão necessária para que ele caia à velocidade constante de
é aproximadamente
. Arredondando para dois algarismos significativos compatíveis com a resposta dada, obtemos
.
Força viscosa domina o equilíbrio; o empuxo é pequeno (≈
) comparado com o atrito viscoso (≈
), por isso a massa não é muito sensível a pequenas variações no empuxo.
Resposta
46 kg