1. Admitindo que é necessário projetar um pistão para cair dentro de um cilindro com velocidade constante de 3,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, entre o pistão e o cilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática igual a 10^{-2} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e \gamma= 8800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Sendo o diâmetro do pistão 10 cm , seu comprimento de 5 cm e o diâmetro do cilindro de 10,2 \mathrm{~cm}, qual deve ser a massa do pistão? Resposta:46 kg.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a massa do pistão para que ele caia com velocidade constante:
  • velocidade de queda do pistão: v=3,2\\ \mathrm{m/s};
  • viscosidade cinemática do óleo: \nu=10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}/s};
  • peso específico do óleo: \gamma=8800\\ \mathrm{N/m^{3}} (isto é, \gamma=\rho g);
  • diâmetro do pistão: D_{p}=0{,}10\\ \mathrm{m};
  • comprimento (altura) do pistão imerso: L=0{,}05\\ \mathrm{m};
  • diâmetro do cilindro: D_{c}=0{,}102\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar a massa m do pistão que faz com que ele caia com velocidade constante de 3{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Primeiro entendimento físico (sem cálculo): para que o pistão caia com velocidade constante, a resultante das forças verticais deve ser nula. As forças em jogo são:
  • peso do pistão para baixo: W=mg;
  • empuxo (flutuabilidade) para cima: F_{b}=\gamma V, onde V é o volume do pistão imerso;
  • força viscosa (atrito do óleo no filme entre pistão e cilindro), que aponta para cima e equilibra o excesso de peso.
Portanto a condição de equilíbrio (queda a velocidade constante) é
mg - F_{b} - F_{v}=0,
ou equivalentemente
mg - F_{b}=F_{v},
onde F_{v} é a força viscosa devido ao filme de óleo.

Passo 3

Converterendo a viscosidade cinemática em viscosidade dinâmica e definindo variáveis:
  • chamamos de g a aceleração da gravidade, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • massa volúmica (densidade) do óleo: \rho=\dfrac{\gamma}{g};
  • viscosidade dinâmica: \mu=\rho\nu.
Calculemos \rho e \mu:
\rho=\dfrac{\gamma}{g}=\dfrac{8800}{9{,}81}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 897{,}05\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
\mu=\rho\,\nu=897{,}05\times 10^{-2}\\ \mathrm{Pa\cdot s}=8{,}9705\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Explicação didática: a viscosidade cinemática \nu mede a “mobilidade” do fluido (viscosidade relativa à densidade). A viscosidade dinâmica \mu é a grandeza que aparece na lei de Newton do atrito viscoso e é a que usamos para calcular tensões de cisalhamento: \tau=\mu\,(\partial u/\partial y).

Passo 4

Geometria do filme e volume do pistão:
  • folga radial (meia diferença de diâmetros):
h=\dfrac{D_{c}-D_{p}}{2}=\dfrac{0{,}102-0{,}100}{2}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • área lateral do pistão onde atua a tensão de cisalhamento (área cilíndrica lateral):
A=\pi D_{p} L=\pi(0{,}10)(0{,}05)=\pi\times 0{,}005=0{,}01570796\\ \mathrm{m^{2}}.
  • volume do pistão (aproximado como cilindro) que determina o empuxo:
V=\dfrac{\pi D_{p}^{2}}{4}\,L=\dfrac{\pi(0{,}10)^{2}}{4}(0{,}05)=\pi\times 0{,}000125=0{,}000392699\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Modelo para a força viscosa no filme fino:
  • Para um filme muito fino entre duas superfícies (pistão deslizando com velocidade v relativa à parede), o perfil de velocidade é aproximadamente linear (fluxo do tipo Couette), logo a taxa de deformação (gradiente de velocidade) é \dfrac{v}{h}.
  • A tensão de cisalhamento na parede é \tau=\mu\,\dfrac{v}{h}.
  • A força viscosa total é \;F_{v}=\tau\,A=\mu\,\dfrac{v}{h}\,A.
Agora calculamos numericamente:
\tau=\mu\,\dfrac{v}{h}=8{,}9705\cdot\dfrac{3{,}2}{0{,}001} =8{,}9705\times 3200 \approx 28705{,}6\\ \mathrm{Pa}.
F_{v}=\tau A \approx 28705{,}6\times 0{,}01570796 \approx 451{,}00\\ \mathrm{N}.
Breve reforço didático: a tensão \tau tem dimensão de força por área (N/m^2). Multiplicando por A obtemos força (N). A expressão \mu v/h vem direto da lei de Newton para um escoamento simples com gradiente constante.

Passo 6

Calcular o empuxo F_{b} e aplicar o equilíbrio de forças:
F_{b}=\gamma V=8800\times 0{,}000392699\approx 3{,}45\\ \mathrm{N}.
Como vimos no Passo 2, da condição mg - F_{b}=F_{v} segue
m=\dfrac{F_{v}+F_{b}}{g}.
Substituindo os valores numéricos:
m=\dfrac{451{,}00+3{,}45}{9{,}81}=\dfrac{454{,}45}{9{,}81}\approx 46{,}35\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final: com os dados fornecidos, a massa do pistão necessária para que ele caia à velocidade constante de 3{,}2\\ \mathrm{m/s} é aproximadamente 46{,}3\\ \mathrm{kg}. Arredondando para dois algarismos significativos compatíveis com a resposta dada, obtemos 46\\ \mathrm{kg}.
Força viscosa domina o equilíbrio; o empuxo é pequeno (≈ 3{,}45\\ \mathrm{N}) comparado com o atrito viscoso (≈ 451\\ \mathrm{N}), por isso a massa não é muito sensível a pequenas variações no empuxo.

Resposta

46 kg

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