calcule mathscr{L}{f(t)} para f(t)=\left(1+e^{2 t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=(1+e^{2t})^2. O conteúdo aqui é o uso da linearidade da transformada de Laplace e das fórmulas básicas para funções exponenciais.

Passo 2

Expandimos o quadrado para escrever f(t) como soma de termos mais simples:
f(t) = (1+e^{2t})^2 = 1 + 2e^{2t} + e^{4t}.

Passo 3

Pela propriedade de linearidade da transformada de Laplace:
\mathscr{L}\{f(t)\} =\mathscr{L}\{1\} \;+\; 2\,\mathscr{L}\{e^{2t}\} \;+\; \mathscr{L}\{e^{4t}\}.

Passo 4

Recordando as fórmulas básicas:
\mathscr{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\quad \Re(s)>0,
\mathscr{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\quad \Re(s)>a.

Passo 5

Substituindo na soma:
\mathscr{L}\{(1+e^{2t})^2\}(s) =\frac{1}{s} + 2\cdot\frac{1}{s-2} + \frac{1}{s-4} =\frac{1}{s}+\frac{2}{s-2}+\frac{1}{s-4},
com região de convergência \Re(s)>4.

Resposta

\mathscr{L}\{(1+e^{2t})^2\}(s) =\frac{1}{s}+\frac{2}{s-2}+\frac{1}{s-4},\quad \Re(s)>4.

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