calcule mathscr{L}{f(t)} para f(t)=2 t^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=2t^{4}.
O conteúdo principal aqui é a definição da transformada de Laplace
\mathscr{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,\mathrm{d}t
e a aplicação da fórmula conhecida para potências:
\int_{0}^{\infty} t^{n}e^{-st}\,\mathrm{d}t = \frac{n!}{s^{\,n+1}},\quad s>0.

Passo 2

Começamos pela definição da transformada aplicando f(t)=2t^{4}:
\mathscr{L}\{2t^{4}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,(2t^{4})\,\mathrm{d}t = 2\int_{0}^{\infty} t^{4}e^{-st}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Usamos a fórmula para potências com n=4:
\int_{0}^{\infty} t^{4}e^{-st}\,\mathrm{d}t = \frac{4!}{s^{5}} = \frac{24}{s^{5}}.

Passo 4

Multiplicando por 2, obtemos
\mathscr{L}\{2t^{4}\} = 2 \cdot \frac{24}{s^{5}} = \frac{48}{s^{5}}.

Resposta

\mathscr{L}\{2t^{4}\} = \frac{48}{s^{5}}.

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