Calcule a Matriz Inversa das seguintes matrizes (quando possível):
\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para isso vamos usar o método da adjunta: calcular \det(A), depois a matriz de cofatores, obter a adjunta (transposta dos cofatores) e dividir tudo por \det(A).

Passo 2

Calculemos \det(A) pela primeira linha:
\det(A) =3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Aqui \det\begin{pmatrix}0 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(-2)\cdot1=2
e \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-0\cdot0=2.
Logo
\det(A)=3\cdot2+2\cdot2=6+4=10\neq0,
logo A é invertível.

Passo 3

Calculamos agora a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
com M_{ij} a menor obtida eliminando linha i e coluna j. O resultado é
C = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2\\\\ 2 & 3 & -3\\\\ 0 & 10 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é \operatorname{adj}(A)=C^{T}, ou seja
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 3 & 10\\\\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1} =\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 3 & 10\\\\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 3 & 10\\\\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.

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