Calcule a medida: A hipotenúsa de um triângulo retângulo com ângulo interno medindo 30 e área 25 cm^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem um ângulo de 30 graus e uma área de . Para resolver isso, vamos usar trigonometria básica e a fórmula da área do triângulo. Precisamos entender as relações entre os lados e os ângulos em triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus, os lados têm proporções conhecidas. O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa. Vamos chamar a hipotenusa de e o cateto oposto a 30 graus de . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da área do triângulo, que é:
Á
No nosso caso, a base pode ser o cateto adjacente ao ângulo de 30 graus, que vamos chamar de . A altura é o cateto oposto, que já sabemos que é . Então, a fórmula fica:
Simplificando:

Passo 4

Precisamos expressar em termos de . Em um triângulo retângulo, o cateto adjacente ao ângulo de 30 graus pode ser encontrado usando a relação trigonométrica do cosseno:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, substituímos na equação da área:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver para :
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Passo 7

Finalmente, para achar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A hipotenusa do triângulo retângulo mede aproximadamente .

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