Calcule a medida: A hipotenúsa de um triângulo retângulo com ângulo interno medindo 30 e área
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem um ângulo de 30 graus e uma área de
. Para resolver isso, vamos usar trigonometria básica e a fórmula da área do triângulo. Precisamos entender as relações entre os lados e os ângulos em triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus, os lados têm proporções conhecidas. O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa. Vamos chamar a hipotenusa de
e o cateto oposto a 30 graus de
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da área do triângulo, que é:
No nosso caso, a base pode ser o cateto adjacente ao ângulo de 30 graus, que vamos chamar de
. A altura é o cateto oposto, que já sabemos que é
. Então, a fórmula fica:
Simplificando:
Passo 4
Precisamos expressar
em termos de
. Em um triângulo retângulo, o cateto adjacente ao ângulo de 30 graus pode ser encontrado usando a relação trigonométrica do cosseno:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da área:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 7
Finalmente, para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A hipotenusa do triângulo retângulo mede aproximadamente
.